js求解斐波拉契数列

斐波拉契数列，英文名称Fibonacci sequence，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列 该数列由0和1开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和，用数学语言描述就是

F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

它是一个非常经典的算法问题，但是其实并不复杂，无脑上手的第一种解法，使用递归循环 

       function fib(n) {
            if (n === 0 || n === 1) {
                return n;
            } else {
                return fib(n - 1) + fib(n - 2)
            }
        }

递归是最直观的解法，符合一般人的思维，代码量最少，但是随着递归层数的增加，内存消耗的增长是指数级的，用算法语言描述就是空间复杂度极差，如果不优化再好的机器都会爆栈(stack overflow，栈溢出)

通过递归树可以很直观的看到指数增长的内存空间，这是程序员最不希望看到的

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第二种解法是迭代循环，遍历从2到n的数组，p，q表示f(n-2)，f(n-1)的指针，每执行一次循环，指针下移一次并且求和赋值给r，具体就是p，q，r的值交换，这种解法可以看成动态规划的一种特殊解法

       function fib(n) {
            if (n === 0 || n === 1) {
                return n;
            }
            var p = 0, q = 0, r = 1;
            for (var i = 2; i <= n; i++) {
                p = q;
                q = r;
                r = p + q;
            }
            return r;
        };

这种解法的空间复杂度是线性的，所以不会爆栈，可读性比递归差，比较中庸的一种解法

 

第三种解法是通项公式法，是使用数学思维解决算法问题的方法，我在上高中的时候，有一本书专门讲常见的数列，可以把斐波拉契数列看成特殊的等比数列或者等差数列，最后得到通项公式

       function fib(n) {
            var sqrtFive = Math.sqrt(5);
            var a1 = Math.pow((1 + sqrtFive) / 2, n)
            var a2 = Math.pow((1 - sqrtFive) / 2, n)
            return Math.floor((a1 - a2) / sqrtFive)
        }

用到了Math.sqrt和Math.pow，最后的结果要下取整，因为高级语言的浮点数是有位数限制的，并不能完全表示无理数，所以Math.sqrt(5)并不等于√5，而是比√5略小一点，所以最后结果的小数位是要去掉的，这也是算法问题和数学问题的一个重要区别，数学是理想的，而算法是实在的，这种方法虽然没有直接用到循环，但是幂函数Math.pow的运算是一个迭代操作，具体得看幂函数的内部实现，所以复杂度介于第一种和第二种之间

chrome控制台输出的 √5

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算法的解法通常都有很多种，而且优化的方法也非常之多，力扣官方还给出了用矩阵求解的方法，有兴趣可以看一下，由于水平有限，有写的不到位的请多批评指正，有更好的想法也请提出来，我们一起探讨