leetcode 25. Reverse Nodes in k-Group

链表K个一组翻转
本文介绍了一种算法,该算法将链表中的节点每K个一组进行反转,并返回修改后的链表。讨论了当节点数量不是K的倍数时如何处理剩余节点,以及如何在不改变节点值的情况下仅改变节点本身来实现这一操作。

1.题目

Given a linked list, reverse the nodes of a linked list k at a time and return its modified list.

If the number of nodes is not a multiple of k then left-out nodes in the end should remain as it is.

You may not alter the values in the nodes, only nodes itself may be changed.

Only constant memory is allowed.

For example,
Given this linked list: 1->2->3->4->5

For k = 2, you should return: 2->1->4->3->5

For k = 3, you should return: 3->2->1->4->5

将一个链表一次反转k个节点直到结束。

2.思路 

用一个计数器count,每当计数器count的值达到k,就将这k个节点反转;

要反转这k个节点,需要知道这k个节点的头节点和尾节点,分别用start和end表示,还需要知道这k个节点的前一个节点,以完成前后链表的链接,用pre表示,代码如下。

class Solution {
public:
    ListNode* reverseK(ListNode* start, ListNode* end,ListNode* pre) { // 反转以start开头,end结束的k个节点,返回反转后k个节点的尾节点
		ListNode* tail = start;
		ListNode *tmp;
		while (start != end){
			tmp = start->next;
			start->next = end->next;
			end->next = start;
			start = tmp;
		}
		pre->next = end;
		return tail;
	}
	ListNode* reverseKGroup(ListNode* head, int k) 	{
		ListNode *newhead = new ListNode(-1);
		ListNode *pre = newhead,*cur = head,*start = head,*end = head;
		int count = 1;

		while (cur){
			if (count == 1)	start = cur;
			if (count == k){
				end = cur;
				cur = start;
				pre = reverseK(start, end, pre);
				count = 0;
			}
			cur = cur->next; count++;
		}
		return newhead->next;
	}
	};


<think>嗯,我现在需要补全Lean4中关于Proper Binary Tree(PBT)的定理证明,具体是count_nodes_plus_one_eq_count_leaves这个定理。首先,我得理解这个定理的意思。应该是说,对于任何Proper Binary Tree,节点的数量加一等于叶子的数量。比如,可能像这样:如果树有n个节点,那么叶子数应该是n+1?或者反过来?可能得先确认定理的具体数学表达式。 然后,用户提到要应用归纳假设ihl和ihr进行推导,这说明可能需要使用数学归纳法来证明这个定理。通常,处理树结构的时候,结构归纳法是一个常用的方法。比如,对于二叉树,可能分为叶子节点和内部节点的情况,或者根据左子树和右子树进行归纳。 首先,我需要明确Proper Binary Tree的定义。Proper Binary Tree通常指的是每个节点要么有两个子节点(内部节点),要么没有子节点(叶子节点)。也就是说,不存在只有一个子节点的情况。这样,整个树的结构会比较规则,可能更容易进行归纳。 接下来,定理的陈述应该是:对于任何Proper Binary Tree,其节点数加一等于叶子数。数学表达式可能是:count_nodes(t) + 1 = count_leaves(t),其中t是一个Proper Binary Tree。 现在,要证明这个定理,我需要考虑如何进行归纳。可能的结构归纳步骤如下: 1. **基例**:当树是一个叶子节点时,节点数为1,叶子数也为1。这时候1 + 1 = 2,但叶子数只有1,这显然不对。这说明我的理解可能有误,或者定理的陈述需要重新确认。 或者,可能基例应该是一个空树?但Proper Binary Tree通常不允许空树,因为叶子节点本身就是有值的节点。这时候基例可能需要调整,或者我误解了定理的陈述。 这里可能存在理解上的问题,需要再仔细看定理的名字和定义。count_nodes_plus_one_eq_count_leaves,即节点数加一等于叶子数。比如,如果有一个叶子节点,节点数是1,加一是2,但叶子数是1,这显然不成立。这说明可能在基例的情况下,定理需要不同的处理,或者我的理解有误。 或许,基例应该是一个内部节点,左右子树都是叶子节点。比如,一个根节点有两个叶子子节点,这时候节点数是3(根、左叶子、右叶子),叶子数是2,3+1=4≠2,这也不对。这说明我的理解有严重问题,可能定理的陈述需要重新确认。 或者,可能定理中的节点数是指内部节点数,而叶子数单独计算?比如,内部节点数加一等于叶子数。比如,一个内部节点有两个叶子,内部节点数是1,叶子数是2,1+1=2,成立。这时候可能定理的正确性成立。因此,我需要确认定理的具体定义,是否节点数指的是内部节点数,而叶子数单独计算。 假设定理的正确陈述是:在Proper Binary Tree中,内部节点数加一等于叶子数。这时候,基例情况下,如果树只有一个叶子节点,那么内部节点数为0,叶子数为1,0+1=1,成立。如果一个内部节点有两个叶子子节点,内部节点数为1,叶子数为2,1+1=2,成立。这符合常见的二叉树性质,即内部节点数加一等于叶子数。 现在,用户的问题是如何用Lean4补全这个定理的证明,应用归纳假设ihl和ihr进行推导。这说明在证明过程中,可能需要对左右子树分别应用归纳假设,然后将结果结合起来。 接下来,我需要考虑如何在Lean4中表示Proper Binary Tree,以及如何定义count_nodes和count_leaves函数。假设已经定义了如下的二叉树类型: inductive PBT (α : Type) where | leaf (val : α) | node (left : PBT α) (right : PBT α) 然后,定义count_nodes和count_leaves函数: def count_nodes : PBT α → Nat | .leaf _ => 0 -- 假设叶子节点不计入内部节点数 | .node l r => 1 + count_nodes l + count_nodes r def count_leaves : PBT α → Nat | .leaf _ => 1 | .node l r => count_leaves l + count_leaves r 这里,count_nodes计算的是内部节点的数量,叶子节点不计入,而count_leaves计算叶子节点的数量。这样,定理应该表述为:对于任何Proper Binary Tree t,count_nodes t + 1 = count_leaves t。 现在,需要证明这个定理。使用结构归纳法,可能需要对树的结构进行分情况讨论: 1. **基例**:当树是一个叶子节点时,count_nodes t = 0,count_leaves t = 1,因此0 + 1 = 1,成立。 2. **归纳步骤**:假设对于左右子树l和r,有count_nodes l + 1 = count_leaves l(归纳假设ihl),以及count_nodes r + 1 = count_leaves r(归纳假设ihr)。需要证明对于.node l r,count_nodes (.node l r) + 1 = count_leaves (.node l r)。 根据定义,count_nodes (.node l r) = 1 + count_nodes l + count_nodes r count_leaves (.node l r) = count_leaves l + count_leaves r 根据归纳假设ihl和ihr,可以将count_leaves l替换为count_nodes l + 1,同理count_leaves r替换为count_nodes r + 1。 因此,右边变为 (count_nodes l + 1) + (count_nodes r + 1) = count_nodes l + count_nodes r + 2 左边是count_nodes (.node l r) + 1 = (1 + count_nodes l + count_nodes r) + 1 = count_nodes l + count_nodes r + 2 两边相等,因此定理成立。 现在,如何在Lean4中实现这个证明?用户已经提供了部分代码,需要补全应用归纳假设的部分。可能的代码结构如下: theorem count_nodes_plus_one_eq_count_leaves (t : PBT α) : count_nodes t + 1 = count_leaves t := by induction t with | leaf => -- 基例处理 simp [count_nodes, count_leaves] -- 简化表达式,验证基例成立 | node l r ihl ihr => -- 归纳步骤,应用归纳假设ihl和ihr simp [count_nodes, count_leaves, ihl, ihr] -- 将归纳假设带入,简化表达式 ring -- 使用代数运算验证等式成立 这里,`simp`策略用于简化表达式,带入归纳假设,而`ring`用于验证代数等式成立。用户可能需要补全的是在归纳步骤中正确应用ihl和ihr,并确保代数运算正确。 可能的难点在于确保归纳假设正确应用,并且简化后的表达式能够正确匹配。如果用户提供的代码中有缺失的部分,可能需要根据上述逻辑补全。例如,在`node`的情况下,正确地将ihl和ihr带入,并确保`ring`能够处理剩余的代数运算。 此外,需要注意Proper Binary Tree的定义是否符合上述结构,以及count_nodes和count_leaves的定义是否正确区分内部节点和叶子节点。如果定义有误,可能需要调整函数定义或定理的陈述。 总结来说,补全证明的关键在于正确应用结构归纳法,基例处理叶子节点,归纳步骤处理内部节点并应用左右子树的归纳假设,最后通过代数运算验证等式成立。</think>要补全`count_nodes_plus_one_eq_count_leaves`定理的证明,需基于Proper Binary Tree的结构进行归纳,并正确应用归纳假设。以下是分步说明及完整代码: **步骤说明**: 1. **基例(Leaf节点)**: - 当树为叶子节点时,内部节点数为0,叶子数为1。 - 验证等式:$0 + 1 = 1$,显然成立。 2. **归纳步骤(Node节点)**: - 假设左子树满足$\text{count\_nodes}(l) + 1 = \text{count\_leaves}(l)$(归纳假设`ihl`) - 假设右子树满足$\text{count\_nodes}(r) + 1 = \text{count\_leaves}(r)$(归纳假设`ihr`) - 计算当前节点:$\text{count\_nodes}(\text{node}\ l\ r) = 1 + \text{count\_nodes}(l) + \text{count\_nodes}(r)$ - 计算当前叶子数:$\text{count\_leaves}(\text{node}\ l\ r) = \text{count\_leaves}(l) + \text{count\_leaves}(r)$ - 代入归纳假设:$\text{count\_leaves}(l) + \text{count\_leaves}(r) = (\text{count\_nodes}(l) + 1) + (\text{count\_nodes}(r) + 1)$ - 简化后等式两边均为$\text{count\_nodes}(l) + \text{count\_nodes}(r) + 2$,故成立。 **Lean4代码补全**: ```lean4 theorem count_nodes_plus_one_eq_count_leaves (t : PBT α) : count_nodes t + 1 = count_leaves t := by induction t with | leaf => -- 基例:叶子节点的内部节点数为0,叶子数为1,等式显然成立 simp [count_nodes, count_leaves] | node l r ihl ihr => -- 归纳步骤:应用归纳假设ihl和ihr,并简化表达式 simp [count_nodes, count_leaves, ihl, ihr] -- 使用代数运算验证等式成立 ring ``` **代码解释**: - `induction t with`:对树`t`进行结构归纳。 - `| leaf => ...`:处理叶子节点基例,使用`simp`简化表达式。 - `| node l r ihl ihr => ...`:处理内部节点,带入左右子树的归纳假设`ihl`和`ihr`。 - `simp [count_nodes, count_leaves, ihl, ihr]`:将函数定义和归纳假设带入当前上下文。 - `ring`:验证代数等式成立,自动处理加法与乘法运算。 **引用文献**: - 关于二叉树归纳证明的标准方法,可参考算法与数据结构教材[^1]。 - Lean4的归纳策略及`ring`定理证明器的使用详见官方文档[^2]。
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