状压dp学习

最新推荐文章于 2025-07-22 11:10:37 发布

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本文深入探讨了状压动态规划的基本概念与实践应用，通过三个经典例题——CF1042B Vitamins、P2704 炮兵阵地及1038 裁玻璃，详细解析了如何利用状压DP解决复杂状态问题，提供了完整的代码示例，适合初学者快速掌握状压DP技巧。

文章目录

例题

状压DP是一种非常暴力的做法，枚举所有可能的状态，找到要求的最佳状态，与一般dp不同，前一项与后一项有一些复杂的状态关系。

dp的参数：

物品个数、行数等
当前状态
上一个状态

例题

CF1042B Vitamins

思路

将ABC的有无表示成一个8个状态，枚举所有组，枚举上一个状态，得到当前状态的最优解

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define intn long long
using namespace std;

main(void)
{
	int n;
	cin>>n;
	string t;
	int v[2000];
	int w[2000];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>v[i];
		cin>>t;
		for(int j=0;j<t.length();j++)
		{
			if(t[j]=='A')
			w[i]=w[i]|1;
			if(t[j]=='B')
			w[i]=w[i]|1<<1;
			if(t[j]=='C')
			w[i]=w[i]|1<<2;
		}
	}
	int dp[2000][10];
	
	for(int i=0;i<=n;i++)
	for(int j=0;j<=9;j++)
	dp[i][j]=999999;
	
	for(int i=0;i<=n;i++)
	dp[i][0]=0;
	int ans=999999;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=0;j<=1<<3;j++)//前一个状态 
	{
		int s=w[i]|j;//s>=j; 
		dp[i][s]=min(dp[i][s],dp[i-1][j]+v[i]);
		dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j]);
	}
	
	int flag=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(dp[i][7]<999999)
		{
			flag=1;
			ans=min(dp[i][7],ans);
		
		}
	}
	if(flag==0)
	cout<<"-1";
	else
	cout<<ans;
}

P2704 炮兵阵地

思路

滚动数组只需要2组
枚举上边两列的状态

代码

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,ans,dp[(1<<10)][(1<<10)][13]/*滚动数组*/,a[115],Sum[(1<<10)];
char x;
int getsum(int S)   //当前状态 S 里面包含几个 1
{
    int tot=0;
    while(S) {if(S&1) tot++; S>>=1;}
    return tot;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=2;i<n+2;i++)
        for(int j=2;j<m+2;j++)
            cin>>x,a[i]<<=1,a[i]+=(x=='H'?1:0); //转成二进制数
    for(int i=0;i<(1<<m);i++)
        Sum[i]=getsum(i);   //初始化 Sum 数组
 
	for(int i=0+2;i<n+2;i++)
        for(int L=0;L<(1<<m);L++)
        {
            if(L&a[i-1] || (L&(L<<1)) || (L&(L<<2))) continue;  //特判
            for(int S=0;S<(1<<m);S++)
            {
                if(S&a[i] || L&S || (S&(S<<1)) || (S&(S<<2))) continue; //还是特判
                for(int FL=0;FL<(1<<m);FL++)
                {
                    if(FL&L || FL&S || FL&a[i-2] || (FL&(FL<<1)) || (FL&(FL<<2)))   continue;   //仍然是特判
                    dp[L][S][(i-2)%3+2]=max(dp[L][S][(i-2)%3+2],dp[FL][L][(i-1-2)%3+2]+Sum[S]);     //滚动数组的实现方法
                }
            }
        }
    for(int L=0;L<(1<<m);L++)
        for(int S=0;S<(1<<m);S++)
            ans=max(ans,dp[L][S][(n-1)%3+2]); //结束状态可以是最后一行的任何状态
    cout<<ans;
    return 0;
}

1038: 裁玻璃

思路

从第二行开始，枚举上一行状态和本行状态。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define intn long long
using namespace std;
int dp[1100][1100],a[1100],s[1100];
int getsum(int s)
{
	int res=0;
	while(s)
	{
		if(s&1)
		res++;
		s>>=1;
	}
	return res;
}
int judge1(int s1,int sd)
{
	if((s1&sd)||(s1<<1)&sd)
	return 1;
	else
	return 0;
}
int judge2(int s1,int s2)
{
	if((s1&s2)||((s1<<1)&s2)||(s1&(s2<<1)))
	return 1;
	else
	return 0;
} 
main(void)
{
	int t;
	int n,m,x; 
	cin>>t;
	for(int z=1;z<=t;z++)
	{
		cin>>n>>m;
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
        memset(a, 0, sizeof(a));
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
		
			for(int j=1;j<=m;j++)
			{
				cin>>x;
				a[i]<<=1;
				a[i]+=!x;
			}
			
		}
		for(int i=0;i<(1<<m-1);i++)
		{
			s[i]=getsum(i);
		}
		for(int i=2;i<=n;i++)
		{
			for(int p=0;p<(1<<m-1);p++)
			{
				if(judge1(p,a[i-1])||(p&(p<<1)))continue;
				for(int q=0;q<(1<<m-1);q++)
				{
					if(q&(q<<1)||judge1(q,a[i])||judge1(q,a[i-1])||judge2(p,q))continue;
					dp[i][q]=max(dp[i][q],dp[i-1][p]+s[q]);
				}
			}
		}
		int ans=0;
		for(int i=0;i<(1<<m-1);i++)
		{
			ans=max(ans,dp[n][i]);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}