【堆】堆的定义以及堆排序

堆的定义：

堆是一类特殊的数据结构统称，堆通常可以被看做一颗树的数组对象。

堆满足下列性质：

1）堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值

2）堆总是一颗完全二叉树。

完全二叉树：除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。

满二叉树：树中除了叶子节点，每个节点都有两个子节点

完美二叉树：满足完全二叉树性质，树的叶子节点均在最后一层（也就是形成了一个完美的三角形）

堆的定义：n个元素的序列{k1,k2,ki,...,kn}当且仅当满足以下关系时，称之为堆。

（ki<=k2i,ki<=k2i+1）或者（ki>=k2i,ki>=k2i+1），（i=1,2,3,..,n/2）

完全二叉树中所有非终端点的值均不大于（或不小于）其左右孩子节点的值。由此，若序列{k1,k2,…,kn}是堆，则堆顶元素（或完全二叉树的根）必为序列中n个元素的最小值（或最大值）。

根据上述知道堆的性质，分为大顶堆，和小顶堆。即堆顶元素子序列n个元素中是最大值或最小值。堆排序就是根据这个性质进行排序。

堆排序

步骤：

1. 将输入的序列{R1,R2,R3, ... , Rn}初始化为大顶堆

2. 将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时新的无序区（R1,R2,...,Rn-1）和有序区(Rn)

3. 将交换后的新的无序区，调整为新的大顶堆。再次将R1与最后一个元素交换，得到新的无序区（R1,R2,R3,...,Rn-2）和有序区(Rn-1,Rn)

4. 不断重复2, 3过程，直到有序区个元素个数为n-1，则排序完成。

注意：在第1步初始化大顶堆和第3步中再次调整大顶堆，对序列非叶结点遍历顺序不同。第1步从最后有叶子结点往上调整，第3步中调整最大堆，是从最上面结点开始往下调整。

代码：

#include <iostream>

using namespace std;

/****
*堆排序
*首先讲待排序列初始化为大顶堆（这里要理解堆的性质，堆顶元素是最大值）
*将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时新的无序区（R1,R2,...,Rn-1）和有序区(Rn)
*将交换后的新的无序区，调整为新的大顶堆。再次将R1与最后一个元素交换，得到新的无序区（R1,R2,R3,...,Rn-2）和有序区(Rn-1,Rn)
*不断重复此过程，直到有序区个元素个数为n-1，则排序完成
****/

void sift_down(int *a, int start, int last){

    while(1){   //对交换父节点和子节点，再次检查子节点是否是子树中最大值
        /*
        *当列表第一个是以下标0开始，结点下标为i,左孩子则为2*i+1,右孩子下标则为2*i+2;
        *若下标以1开始，左孩子则为2*i,右孩子则为2*i+１
        */
        int left = 2*start+1;  //左孩子的结点下标
        if(left>last){
            break;
        }
        if(left+1 <= last && a[left+1] > a[left]){  // # 当结点的右孩子存在，且大于结点的左孩子时
            left += 1;
        }
        if(a[left] > a[start]){
            int temp = a[left];
            a[left] = a[start];
            a[start] = temp;

            start = left;   // # 交换之后以交换子结点为根的堆可能不是大顶堆，需重新调整
        }else{   //# 若父结点大于左右孩子，则退出循环
            break;
        }
        cout<< ">>";
        for(int i=0;i<=last;i++){
            cout<<a[i]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    int a[n];
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=n/2 - 1;i>=0;i--){   //n/2-1 表示 最后一个有孩子的节点， # 从最后一个有孩子的节点开始往上调整
        cout<<a[i]<<endl;
        sift_down(a,i,n-1);//初始化大顶堆
    }  //上述代码初始化输入序列为大顶堆

    for(int head = n-1;head>0;head--){  //此for循环，开始逐个交换堆顶元素和堆顶元素，
//交换后调用sift_down函数，重新调整为大顶堆
        int team = a[head];
        a[head] = a[0];
        a[0] = team;

        sift_down(a,0,head-1);  //从堆顶的节点节点开始往下调整，一次调整得到大顶堆
    }

    for(int i=0;i<=n-1;i++){
            cout<<a[i]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    return 0;
}