用于时间序列概率预测的蒙特卡洛模拟

大家好，蒙特卡洛模拟是一种广泛应用于各个领域的计算技术，它通过从概率分布中随机抽取大量样本，并对结果进行统计分析，从而模拟复杂系统的行为。这种技术具有很强的适用性，在金融建模、工程设计、物理模拟、运筹优化以及风险管理等领域都有广泛的应用。

蒙特卡洛模拟这个名称源自于摩纳哥王国的蒙特卡洛城市，这里曾经是世界著名的赌博天堂。在20世纪40年代，著名科学家乌拉姆和冯·诺依曼参与了曼哈顿计划，他们需要解决与核反应堆中子行为相关的复杂数学问题。他们受到了赌场中掷骰子的启发，设想用随机数来模拟中子在反应堆中的扩散过程，并将这种基于随机抽样的计算方法命名为"蒙特卡洛模拟"（Monte Carlo simulation）。

蒙特卡洛模拟的核心思想是通过大量重复随机试验，从而近似求解分析解难以获得的复杂问题。它克服了传统数值计算方法的局限性，能够处理非线性、高维、随机等复杂情况。随着计算机性能的飞速发展，蒙特卡洛模拟的应用范围也在不断扩展。

在金融领域，蒙特卡洛模拟被广泛用于定价衍生品、管理投资组合风险、预测市场波动等。在工程设计中，它可以模拟材料力学性能、流体动力学等复杂物理过程。在物理学研究中，从粒子物理到天体物理，都可以借助蒙特卡洛模拟进行探索。此外，蒙特卡洛模拟还在机器学习、计算生物学、运筹优化等领域发挥着重要作用。

蒙特卡洛模拟的过程基本上是这样的：首先需要定义要模拟的系统或过程，包括方程和参数；其次根据拟合的概率分布生成随机样本；进而针对每一组随机样本，运行模型模拟系统的行为；最后分析结果以了解系统行为。

本文将介绍使用它来模拟未来证券价格的两种分布：高斯分布和学生 t 分布。这两种分布通常被量化分析人员用于证券市场数据。

在此加载苹果公司从2020年到2024年每日证券价格的数据：

import yfinance as yf
orig = yf.download(["AAPL"], start="2020-01-01", end="2024-12-31")
orig = orig[('Adj Close')]
orig.tail()

[*********************100%%**********************]  1 of 1 completed
Date
2024-03-08    170.729996
2024-03-11    172.750000
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2024-03-13    171.130005
2024-03-14    173.000000
Name: Adj Close, dtype: float64

可以通过价格序列来计算简单的日收益率，并将其呈现为柱状图。

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
returns = orig.pct_change()
last_price = orig[-1]
returns.hist(bins=100)

 苹果证券日收益柱状图

1.标准正态分布拟合收益率

证券的历史波动率通常是通过计算每日收益率的标准差来进行，假设未来的波动率与历史波动率相似。而直方图则呈现了以0.0为中心的正态分布的形状。为简单起见，将该分布假定为均值为0，标准差为0的高斯分布。接下来计算出标准差（也称为日波动率），预计明天的日收益率将会是高斯分布中的一个随机值。