决策树ID3;C4.5详解和python实现与R语言实现比较

本文网址：http://blog.youkuaiyun.com/crystal_tyan/article/details/42130851（请不要在采集站阅读）

把决策树研究一下，找来了一些自己觉得还可以的资料：

分类树（决策树）是一种十分常用的分类方法。他是一种监管学习，所谓监管学习说白了很简单，就是给定一堆样本，每个样本都有一组属性和一个类别，这些类别是事先确定的，那么通过学习得到一个分类器，这个分类器能够对新出现的对象给出正确的分类。这样的机器学习就被称之为监督学习。分类本质上就是一个map的过程。C4.5分类树就是决策树算法中最流行的一种。下面给出一个数据集作为算法例子的基础，比如有这么一个数据集，如下：

这个Golf数据集就是我们这篇博客讨论的基础。我们分类的目的就是根据某一天的天气状态，如天气，温度，湿度，是否刮风，来判断这一天是否适合打高尔夫球。

上面的图片已经很明显得说明了决策树的原理了

下面说说信息增益和熵

1. 信息论里的熵

因此先回忆一下信息论中有关信息量（就是“熵”）的定义。说有这么一个变量X，它可能的取值有n多种，分别是x1，x2，……，xn，每一种取到的概率分别是P1，P2，……，Pn，那么X的熵就定义为：

意思就是一个变量可能的变化越多（反而跟变量具体的取值没有任何关系，只和值的种类多少以及发生概率有关），它携带的信息量就越大（因此我一直觉得我们的政策法规信息量非常大，因为它变化很多，基本朝令夕改，笑）。

2. 分类系统里的熵

对分类系统来说，类别C是变量，它可能的取值是C1，C2，……，Cn，而每一个类别出现的概率是P(C1)，P(C2)，……，P(Cn)，因此n就是类别的总数。此时分类系统的熵就可以表示为：

有同学说不好理解呀，这样想就好了，文本分类系统的作用就是输出一个表示文本属于哪个类别的值，而这个值可能是C1，C2，……，Cn，因此这个值所携带的信息量就是上式中的这么多。

3. 信息增益和熵的关系

信息增益是针对一个一个的特征而言的，就是看一个特征t，系统有它和没它的时候信息量各是多少，两者的差值就是这个特征给系统带来的信息量，即增益。系统含有特征t的时候信息量很好计算，就是刚才的式子，它表示的是包含所有特征时系统的信息量。

问题是当系统不包含t时，信息量如何计算？我们换个角度想问题，把系统要做的事情想象成这样：说教室里有很多座位，学生们每次上课进来的时 候可以随便坐，因而变化是很大的（无数种可能的座次情况）；但是现在有一个座位，看黑板很清楚，听老师讲也很清楚，于是校长的小舅子的姐姐的女儿托关系 （真辗转啊），把这个座位定下来了，每次只能给她坐，别人不行，此时情况怎样？对于座次的可能情况来说，我们很容易看出以下两种情况是等价的：（1）教室 里没有这个座位；（2）教室里虽然有这个座位，但其他人不能坐（因为反正它也不能参与到变化中来，它是不变的）。

对应到我们的系统中，就是下面的等价：（1）系统不包含特征t；（2）系统虽然包含特征t，但是t已经固定了，不能变化。

我们计算分类系统不包含特征t的时候，就使用情况（2）来代替，就是计算当一个特征t不能变化时，系统的信息量是多少。这个信息量其实也有专门的名称，就叫做“条件熵”，条件嘛，自然就是指“t已经固定“这个条件。

但是问题接踵而至，例如一个特征X，它可能的取值有n多种（x1，x2，……，xn）， 当计算条件熵而需要把它固定的时候，要把它固定在哪一个值上呢？答案是每一种可能都要固定一下，计算n个值，然后取均值才是条件熵。而取均值也不是简单的 加一加然后除以n，而是要用每个值出现的概率来算平均（简单理解，就是一个值出现的可能性比较大，固定在它上面时算出来的信息量占的比重就要多一些）。

因此有这样两个条件熵的表达式：

这是指特征X被固定为值xi时的条件熵，

这是指特征X被固定时的条件熵，注意与上式在意义上的区别。从刚才计算均值的讨论可以看出来，第二个式子与第一个式子的关系就是：

具体到我们文本分类系统中的特征t，t有几个可能的值呢？注意t是指一个固定的特征，比如他就是指关键词“经济”或者“体育”，当我们说特征“经济”可能的取值时，实际上只有两个，“经济”要么出现，要么不出现。一般的，t的取值只有t（代表t出现）和（代表t不出现），注意系统包含t但t 不出现与系统根本不包含t可是两回事。

因此固定t时系统的条件熵就有了，为了区别t出现时的符号与特征t本身的符号，我们用T代表特征，而用t代表T出现，那么：

与刚才的式子对照一下，含义很清楚对吧，P(t)就是T出现的概率，就是T不出现的概率。这个式子可以进一步展开，其中的

另一半就可以展开为：

因此特征T给系统带来的信息增益就可以写成系统原本的熵与固定特征T后的条件熵之差：

公式中的东西看上去很多，其实也都很好计算。比如P(Ci)，表示类别Ci出现的概率，其实只要用1除以类别总数就得到了（这是说你平等的看待每个类别而忽略它们的大小时这样算，如果考虑了大小就要把大小的影响加进去）。再比如P(t)，就是特征T出现的概率，只要用出现过T的文档数除以总文档数就可以了，再比如P(Ci|t)表示出现T的时候，类别Ci出现的概率，只要用出现了T并且属于类别Ci的文档数除以出现了T的文档数就可以了。

从以上讨论中可以看出，信息增益也是考虑了特征出现和不出现两种情况，与开方检验一样，是比较全面的，因而效果不错。但信息增益最大的问题 还在于它只能考察特征对整个系统的贡献，而不能具体到某个类别上，这就使得它只适合用来做所谓“全局”的特征选择（指所有的类都使用相同的特征集合），而 无法做“本地”的特征选择（每个类别有自己的特征集合，因为有的词，对这个类别很有区分度，对另一个类别则无足轻重）。

================

一个例子：

================

任务：

根据天气预测否去打网球

数据：

这个数据集来自Mitchell的机器学习，叫做是否去打网球play-tennis,以下数据仍然是从带逗号分割的文本文件，复制到纪事本，把后缀直接改为.csv就可以拿Excel打开：

*play-tennis data，其中6个变量依次为：编号、天气{Sunny、Overcast、Rain}、温度{热、冷、适中}、湿度{高、正常}、风力{强、弱}以及最后是否去玩的决策{是、否}。一个建议是把这些数据导入Excel后，另复制一份去掉变量的数据到另外一个工作簿，即只保留14个观测值。这样可以方便地使用Excel的排序功能，随时查看每个变量的取值到底有多少。*/

NO. , Outlook , Temperature , Humidity , Wind , Play 
1 , Sunny , Hot , High , Weak , No 
2 , Sunny , Hot , High , Strong , No 
3 , Overcast , Hot , High , Weak , Yes 
4 , Rain , Mild , High , Weak , Yes 
5 , Rain , Cool , Normal , Weak , Yes 
6 , Rain , Cool , Normal , Strong , No 
7 , Overcast , Cool , Normal , Strong , Yes 
8 , Sunny , Mild , High , Weak , No 
9 , Sunny , Cool , Normal , Weak , Yes 
10 , Rain , Mild , Normal , Weak , Yes 
11 , Sunny , Mild , Normal , Strong , Yes 
12 , Overcast , Mild , High , Strong , Yes 
13 , Overcast , Hot , Normal , Weak , Yes 
14 , Rain , Mild , High , Strong , No

用决策树来预测：

决策树的形式类似于“如果天气怎么样，去玩；否则，怎么着怎么着”的树形分叉。那么问题是用哪个属性（即变量，如天气、温度、湿度和风力）最适合充当这颗树的根节点，在它上面没有其他节点，其他的属性都是它的后续节点。

那么借用上面所述的能够衡量一个属性区分以上数据样本的能力的“信息增益”（Information Gain）理论。

如果一个属性的信息增益量越大，这个属性作为一棵树的根节点就能使这棵树更简洁，比如说一棵树可以这么读成，如果风力弱，就去玩；风力强，再按天气、温度等分情况讨论，此时用风力作为这棵树的根节点就很有价值。如果说，风力弱，再又天气晴朗，就去玩；如果风力强，再又怎么怎么分情况讨论，这棵树相比就不够简洁了。

用熵来计算信息增益:

1 计算分类系统熵
类别是 是否出去玩。取值为yes的记录有9个，取值为no的有5个，即说这个样本里有9个正例，5 个负例，记为S(9+,5-)，S是样本的意思(Sample)。那么P(c1) = 9/14, P(c2) = 5/14

这里熵记为Entropy(S),计算公式为：

Entropy(S)= -(9/14)*log2(9/14)-(5/14)*log2(5/14)用Matlab做数学运算

2 分别以Wind、Humidity、Outlook和Temperature作为根节点，计算其信息增益

我们来计算Wind的信息增益

当Wind固定为Weak时：记录有8条，其中正例6个，负例2个；

同样，取值为Strong的记录6个，正例负例个3个。我们可以计算相应的熵为：

Entropy(Weak)=-(6/8)*log(6/8)-(2/8)*log(2/8)=0.811
Entropy(Strong)=-(3/6)*log(3/6)-(3/6)*log(3/6)=1.0

现在就可以计算出相应的信息增益了：

所以，对于一个Wind属性固定的分类系统的信息量为 (8/14)*Entropy(Weak)+(6/14)*Entropy(Strong)

Gain(Wind)=Entropy(S)-(8/14)*Entropy(Weak)-(6/14)*Entropy(Strong)=0.940-(8/14)*0.811-(6/14)*1.0=0.048

这个公式的奥秘在于，8/14是属性Wind取值为Weak的个数占总记录的比例，同样6/14是其取值为Strong的记录个数与总记录数之比。

同理，如果以Humidity作为根节点：
Entropy(High)=0.985 ; Entropy(Normal)=0.592
Gain(Humidity)=0.940-(7/14)*Entropy(High)-(7/14)*Entropy(Normal)=0.151
以Outlook作为根节点：
Entropy(Sunny)=0.971 ; Entropy(Overcast)=0.0 ; Entropy(Rain)=0.971
Gain(Outlook)=0.940-(5/14)*Entropy(Sunny)-(4/14)*Entropy(Overcast)-(5/14)*Entropy(Rain)=0.247
以Temperature作为根节点：
Entropy(Cool)=0.811 ; Entropy(Hot)=1.0 ; Entropy(Mild)=0.918
Gain(Temperature)=0.940-(4/14)*Entropy(Cool)-(4/14)*Entropy(Hot)-(6/14)*Entropy(Mild)=0.029
这样我们就得到了以上四个属性相应的信息增益值：
Gain(Wind)=0.048 ；Gain(Humidity)=0.151 ； Gain(Outlook)=0.247 ；Gain(Temperature)=0.029
最后按照信息增益最大的原则选Outlook为根节点。子节点重复上面的步骤。这颗树可以是这样的，它读起来就跟你认为的那样：

 

下面是《机器学习实战》的源码：

<span style="font-size:18px;">'''
Created on Oct 12, 2010
Decision Tree Source Code for Machine Learning in Action Ch. 3
@author: Peter Harrington
'''
from math import log
import operator

def createDataSet():
    dataSet = [[1, 1, 'yes'],
               [1, 1, 'yes'],
               [1, 0, 'no'],
               [0, 1, 'no'],
               [0, 1, 'no']]
    labels = ['no surfacing','flippers']
    #change to discrete values
    return dataSet, labels

def calcShannonEnt(dataSet):
    numEntries = len(dataSet)
    labelCounts = {}
    for featVec in dataSet: #the the number of unique elements and their occurance
        currentLabel = featVec[-1]
        if currentLabel not in labelCounts.keys(): labelCounts[currentLabel] = 0
        labelCounts[currentLabel] += 1
    shannonEnt = 0.0
    for key in labelCounts:
        prob = float(labelCounts[key])/numEntries
        shannonEnt -= prob * log(prob,2) #log base 2
    return shannonEnt
    
def splitDataSet(dataSet, axis, value):
    retDataSet = []
    for featVec in dataSet:
        if featVec[axis] == value:
            reducedFeatVec = featVec[:axis]     #chop out axis used for splitting
            reducedFeatVec.extend(featVec[axis+1:])
            retDataSet.append(reducedFeatVec)
    return retDataSet
    
def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
    numFeatures = len(dataSet[0]) - 1      #the last column is used for the labels
    baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet)
    bestInfoGain = 0.0; bestFeature = -1
    for i in range(numFeatures):        #iterate over all the features
        featList = [example[i] for example in dataSet]#create a list of all the examples of this feature
        uniqueVals = set(featList)       #get a set of unique values
        newEntropy = 0.0
        for value in uniqueVals:
            subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)
            prob = len(subDataSet)/float(len(dataSet))
            newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet)     
        infoGain = baseEntropy - newEntropy     #calculate the info gain; ie reduction in entropy
        if (infoGain > bestInfoGain):       #compare this to the best gain so far
            bestInfoGain = infoGain         #if better than current best, set to best
            bestFeature = i
    return bestFeature                      #returns an integer

def majorityCnt(classList):
    classCount={}
    for vote in classList:
        if vote not in classCount.keys(): classCount[vote] = 0
        classCount[vote] += 1
    sortedClassCount = sorted(classCount.iteritems(), key=operator.itemgetter(1), reverse=True)
    return sortedClassCount[0][0]

def createTree(dataSet,labels):
    classList = [example[-1] for example in dataSet]
    if classList.count(classList[0]) == len(classList): 
        return classList[0]#stop splitting when all of the classes are equal
    if len(dataSet[0]) == 1: #stop splitting when there are no more features in dataSet
        return majorityCnt(classList)
    bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet)
    bestFeatLabel = labels[bestFeat]
    myTree = {bestFeatLabel:{}}
    del(labels[bestFeat])
    featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet]
    uniqueVals = set(featValues)
    for value in uniqueVals:
        subLabels = labels[:]       #copy all of labels, so trees don't mess up existing labels
        myTree[bestFeatLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataSet, bestFeat, value),subLabels)
    return myTree                            
    
def classify(inputTree,featLabels,testVec):
    firstStr = inputTree.keys()[0]
    secondDict = inputTree[firstStr]
    featIndex = featLabels.index(firstStr)
    key = testVec[featIndex]
    valueOfFeat = secondDict[key]
    if isinstance(valueOfFeat, dict): 
        classLabel = classify(valueOfFeat, featLabels, testVec)
    else: classLabel = valueOfFeat
    return classLabel

def storeTree(inputTree,filename):
    import pickle
    fw = open(filename,'w')
    pickle.dump(inputTree,fw)
    fw.close()
    
def grabTree(filename):
    import pickle
    fr = open(filename)
    return pickle.load(fr)
    
</span>

生成图片的：

<span style="font-size:18px;">'''
Created on Oct 14, 2010

@author: Peter Harrington
'''
import matplotlib.pyplot as plt

decisionNode = dict(boxstyle="sawtooth", fc="0.8")
leafNode = dict(boxstyle="round4", fc="0.8")
arrow_args = dict(arrowstyle="<-")

def getNumLeafs(myTree):
    numLeafs = 0
    firstStr = myTree.keys()[0]
    secondDict = myTree[firstStr]
    for key in secondDict.keys():
        if type(secondDict[key]).__name__=='dict':#test to see if the nodes are dictonaires, if not they are leaf nodes
            numLeafs += getNumLeafs(secondDict[key])
        else:   numLeafs +=1
    return numLeafs

def getTreeDepth(myTree):
    maxDepth = 0
    firstStr = myTree.keys()[0]
    secondDict = myTree[firstStr]
    for key in secondDict.keys():
        if type(secondDict[key]).__name__=='dict':#test to see if the nodes are dictonaires, if not they are leaf nodes
            thisDepth = 1 + getTreeDepth(secondDict[key])
        else:   thisDepth = 1
        if thisDepth > maxDepth: maxDepth = thisDepth
    return maxDepth

def plotNode(nodeTxt, centerPt, parentPt, nodeType):
    createPlot.ax1.annotate(nodeTxt, xy=parentPt,  xycoords='axes fraction',
             xytext=centerPt, textcoords='axes fraction',
             va="center", ha="center", bbox=nodeType, arrowprops=arrow_args )
    
def plotMidText(cntrPt, parentPt, txtString):
    xMid = (parentPt[0]-cntrPt[0])/2.0 + cntrPt[0]
    yMid = (parentPt[1]-cntrPt[1])/2.0 + cntrPt[1]
    createPlot.ax1.text(xMid, yMid, txtString, va="center", ha="center", rotation=30)

def plotTree(myTree, parentPt, nodeTxt):#if the first key tells you what feat was split on
    numLeafs = getNumLeafs(myTree)  #this determines the x width of this tree
    depth = getTreeDepth(myTree)
    firstStr = myTree.keys()[0]     #the text label for this node should be this
    cntrPt = (plotTree.xOff + (1.0 + float(numLeafs))/2.0/plotTree.totalW, plotTree.yOff)
    plotMidText(cntrPt, parentPt, nodeTxt)
    plotNode(firstStr, cntrPt, parentPt, decisionNode)
    secondDict = myTree[firstStr]
    plotTree.yOff = plotTree.yOff - 1.0/plotTree.totalD
    for key in secondDict.keys():
        if type(secondDict[key]).__name__=='dict':#test to see if the nodes are dictonaires, if not they are leaf nodes   
            plotTree(secondDict[key],cntrPt,str(key))        #recursion
        else:   #it's a leaf node print the leaf node
            plotTree.xOff = plotTree.xOff + 1.0/plotTree.totalW
            plotNode(secondD