分治算法

1.基本概念

分治，分而治之，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

中心思想：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

2.分治策略

对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

3.分治法适用的情况

(1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

(2)该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

(3)利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

(4)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。 

第2条反映了递归思想。

第4条涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

4.分治法解题的基本步骤

（1）分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

（2）解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题

（3）合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

一般的算法设计模式如下:

5.分治法的复杂性分析

6.依据分治法设计程序的思维过程

实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。

1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法
2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法
3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

参考文章：

https://blog.youkuaiyun.com/weixin_44489823/article/details/92799755