这是一个 **子集和问题的变种**：我们需要统计所有非空子集（也可以是空集？看样例），使得子集元素之和是一个**回文数（
palindromic number）**。
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## ✅ 题意解析
- 给定 `N` 个正整数（可能重复）
- 你可以选择任意数量的数（1 到 N 个，即非空子集）
- 求有多少种**选择方式（子集）**，其和为**回文数**
- 子集不同 ⇨ 即使和相同也算不同（只要选的元素位置不同就算不同）
但注意：输入样例中：
```
输入：
3
1 1 100
输出：3
```
我们来分析这个样例。
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## 🔍 样例分析：`[1, 1, 100]`
所有非空子集有 $2^3 - 1 = 7$ 个：
| 子集 | 元素 | 和 | 是否回文 |
|------|------|----|---------|
| {1} | [1] | 1 | ✅ 是 |
| {1} | [1] | 1 | ✅ 是 |
| {100} | [100] | 100 | ❌ 否（"100" ≠ "001"） |
| {1,1} | [1,1] | 2 | ✅ 是 |
| {1,100} | [1,100] | 101 | ✅ 是 |
| {1,100} | [1,100] | 101 | ✅ 是 |
| {1,1,100} | [1,1,100] | 102 | ❌ 否 |
现在检查每个和是否是回文数：
- 1 → 是
- 1 → 是
- 100 → 不是
- 2 → 是
- 101 → 是
- 101 → 是
- 102 → 不是
所以满足条件的子集有：
1
. 第一个 1 → 和=1
2
. 第二个 1 → 和=1
3
. {1,1} → 和=2
4
. {1,100}（第一个1+100）→ 和=101
5
. {1,100}（第二个1+100）→ 和=101
共 **5 个**
但输出是 **3**！
这说明我们的理解有问题。
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## ❗ 重新思考：是不是相同的值视为同一种选择？
或者题目中的“ways”是指不同的**和值**？
但题目说：“how many ways you can choose the
numbers”，应该是不同的子集算不同的方式。
然而输出是 `3`，不是 `5`。
### 可能原因：题目认为两个 `1` 是不可区分的？
即数组 `[1,1,100]` 中有两个相同的 `1`，如果它们来自不同位置但值相同，在组合中视为相同？
但这与常规“子集计数”不符。
除非题目意思是：**不同的子集，即使元素相同、位置不同，但如果值一样，就合并？**
不，通常不会这样。
再试另一种可能性：我们列出所有**不同的和值**中，哪些是回文？
- 和=1 → 回文 ✅
- 和=2 → 回文 ✅
- 和=101 → 回文 ✅
- 其他：100,102 → 不是
→ 有 3 个**不同的回文和值**
但题目问的是“多少种选择方式”，不是“多少个回文和”
→ 所以不是这个解释。
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## 🚫 矛盾！我们得到 5，样例输出是 3
### 新思路：也许题目不允许选单个数字？但样例用了单个 1
等等，再看一遍题目：
> "you can choose 1,2,3,
....or n of them"
→ 至少选一个 → 正确
> 输出是 3
只有当我们把两个 `1` 视为同一个，并且只算一次和=1 的情况时才可能。
但即便如此，还有：
- 和=1（出现两次，但只算一次？）
- 和=2（{1,1}）
- 和=101（出现两次，但只算一次？）
→ 如果按**不同的子集**算，是 5
→ 如果按**不同的和值**算，是 3（1,2,101）
→ 所以很可能：**题目在问有多少个不同的回文和值？**
但题目原文是：
> how many ways you can choose the
numbers so that the sum of them is
palindromic number.
这里的 “ways” 应该是子集的数量，而不是不同和的数量。
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## ✅ 正确解读：可能是 **LeetCode 类型的“子集去重”问题**
即：虽然有两个 `1`，但因为值相同，某些子集被视为相同？
例如，在集合 `{1,1,100}` 中，选择第一个 `1` 或第二个 `1` 被视为同一种方式？
但在标准算法题中，如果是**索引不同**，就是不同的子集。
除非题目明确说是“distinct subsets by value”。
但我们来看另一个角度：最大可能和是多少？
- N ≤
20，ai ≤ 100 → 最大和 =
20×100 =
2000
- 回文数范围小：从 1 到
2000 的回文数大约只有几百个
我们可以用 **折半搜索（Meet-in-the-Middle） + 回文判断** 来暴力枚举所有子集和，然后统计和为回文数的子集数量。
然后运行样例看看。
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## ✅ 重新计算样例（假设两个 1 是可区分的）
子集如下（设 a=1, b=1, c=100）：
1
. a → sum=1 ✅
2
. b → sum=1 ✅
3
. c → sum=100 ❌
4
. ab → sum=2 ✅
5
. ac → sum=101 ✅
6
. bc → sum=101 ✅
7
. abc → sum=102 ❌
→ 总共 5 个满足条件
但输出是 3
### 唯一可能：题目意思是——输出的是**有多少个不同的回文和值**？
即：
- 和=1 → 回文
- 和=2 → 回文
- 和=101 → 回文
共 3 个不同的回文和值
→ 输出 3 ✅
这就对上了！
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## ✅ 最终理解
题目问的是：
> 有多少个**不同的和值 S**，使得存在某个非空子集，其和为 S，且 S 是回文数？
即：不是统计子集个数，而是统计**能构成的回文和值的种类数**
例如：
- 和=1 可以构成 → 计 1 次
- 和=2 可以构成 → 计 1 次
- 和=101 可以构成 → 计 1 次
- 和=100 不行 → 不计
总数 = 3
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## ✅ 解法步骤
1
. 使用位掩码或 DFS 枚举所有非空子集的和
2
. 将所有可能的和存入一个集合（set）中
3
. 遍历这个集合，判断每个和是否是回文数
4
. 统计回文和的数量
由于 N ≤
20，最多 $2^{
20} \approx 1e6$ 种子集，完全可行
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## ✅ C++ 实现
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <set>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
// 判断一个数是否是回文数
bool isPalindrome
(int n
) {
string s = to_string
(n
);
string t = s;
reverse
(t
.begin
(), t
.end
());
return s == t;
}
int main
() {
int N;
while
(cin >> N
) {
vector<int> nums
(N
);
for
(int i = 0; i < N; ++i
) {
cin >> nums[i];
}
set<int> possibleSums;
// 枚举所有非空子集
for
(int mask = 1; mask <
(1 << N
); ++mask
) {
int sum = 0;
for
(int i = 0; i < N; ++i
) {
if
(mask &
(1 << i
)) {
sum += nums[i];
}
}
possibleSums
.insert
(sum
);
}
// 统计其中有多少个是回文数
int count = 0;
for
(int s : possibleSums
) {
if
(isPalindrome
(s
)) {
count++;
}
}
cout << count << endl;
}
return 0;
}
```
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## ✅ 再验证样例
输入：`[1, 1, 100]`
所有非空子集和：
- 1
(from first 1
)
- 1
(second 1
) → 已存在
- 100
- 1+1=2
- 1+100=101
- 1+100=101 → 已存在
- 1+1+100=102
→ 集合：{1, 2, 100, 101, 102}
回文判断：
- 1 → 是
- 2 → 是
- 100 → 否
- 101 → 是
- 102 → 否
→ 共 3 个回文和值 → 输出 `3` ✅
---
###
本文介绍了一个C++程序，该程序实现了将十进制数转换为任意进制数的功能，并判断转换后的数是否为回文数。通过定义转换和判断函数，程序能够输出转换后的进制数及其是否为回文的结果。
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