《统计学学习方法》阅读笔记2：k近邻算法

k近邻法

1、k近邻算法

输入： 训练集数据
T={(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)}T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)\}T={(x1​,y1​),(x2​,y2​),...,(xN​,yN​)}
其中，$x_i\in X\subseteq R^n$ 是实例的特征向量，yi∈Y={c1,c2,...,cK}y_i \in Y = \{c_1,c_2,...,c_K\}yi​∈Y={c1​,c2​,...,cK​} 是实例的类别，$i=1,2,...,N$
输出：实例 $x$ 所属的类 $y$。
（1）根据给定的距离度量，在训练集 $T$ 中找出与 $x$ 最邻近的 $k$ 个点，涵盖这 $k$ 个点的 $x$ 的邻域记作 $N_k(x)$；
（2）在 $N_k(x)$ 中根据分类决策规则决定（如多数表决） $x$ 的类别 $y$：
$$y=\underset{c_j}{argmax}\sum _{x_i\in N_k(x)}I(y_i=c_j),i=1,2,...,N;j=1,2,...,K$$
其中 $I$ 是指示函数，当 $y_i=c_j$ 时 $I$ 为1，否则 $I$ 是0。

2、k近邻模型

模型三要素：度量距离、k值、分类决策规则。

• 距离度量
  距离反应了两个实例点之间相似程度。常见距离有 $L_p$ 距离、Minkowski距离、欧式距离。
  $X$ 是 n 维实数向量空间 $R^n$，$x_i=(x_i^{(1)},x_i^{(2)},...,x_i^{(n)}{)}^T$
  • $L_p$距离定义为：
    $$L_p(x_i,x_j)=(\sum _{l=1}^n|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}$$
  • 曼哈顿距离，上式中 $p=1$
  • 欧式距离，上式中 $p=2$
  • 当 $p=\infty$ 时是各个坐标距离的最大值，即
    $$L_{\infty }(x_i,x_j)=\underset{l}{\max }|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}|$$
• k值选择
  k值的选择对结果产生重大影响

  k值	近似误差	估计误差	模型复杂度	说明
  k值较小	减小	增大	模型复杂化	对近邻点敏感，容易过拟合
  k值较大	增大	减小	模型简单化	邻域中不相似的点干扰分类结果

  注： 近似误差，可以理解训练集的训练误差。估计误差，可以理解为对测试集的测试误差。
  在应用中一般 $k$ 选择较小的值，使用交叉验证法选取最优值。
• 分类决策规则
  多数表决规则（等价于经验最小化）

3、k近邻的实现：kd 树

平衡 kd 树构造算法：
输入：k 维空间数据集 T={x1,x2,...,xN}T=\{x_1,x_2,...,x_N\}T={x1​,x2​,...,xN​}
输出：kd 树
（1）开始构造根节点，根节点包含所有样例点的超矩形；选择 $x^{(1)}$ 为坐标轴，以 T 中所有实例 $x^{(1)}$ 的中位数为切分点，将根节点对应的超矩形切分为两个子区域。切分由过 $x^{(1)}$ 中位数的点且垂直于 $x^{(1)}$ 轴的超平面实现。
以根节点生成深度为1的左、右结点：左子树对应 $x^{(1)}$ 的坐标小于切分点的子区域，右子树对应 $x^{(1)}$ 大于切分点的子区域。
将落在超平面上的点放在根节点中。
（2）重复：深度的为 j 的结点，选择 $x_l$ 为切分的坐标轴，其中 $l=jmodk+1$ 。选择 $x^{(l)}$ 的中位数作为切分点。
（3）直到两个顶点之间没有实例存在时停止，从而形成 kd 树。

kd 树邻近搜索
输入：kd 树；目标点 x
输出：x 的最近邻点
（1）在 kd 树中搜索包含 x 的叶子结点；
（2）以此叶结点为当前最近叶结点；
（3）递归回退，进行如下操作：
（a）若该结点保存的实例比当前最近结点更靠近目标点，则以该实例为“当前最近点”；
（b）当前最近点一定存在于该结点一个子结点对应的区域内。检查该结点的父结点的另一个子结点对应的区域是否有更近的点。具体来说就是检出另一个结点对应的区域是否与以目标点为中心、目标点到“当前最近点”间的距离为半径的超球体相交。
若相交则移动到另一个结点，接着递归搜索最近邻搜索。
（4）当回退到根节点，搜素结束。