高效处理动态数组与二叉索引树应用-优快云博客

　　对于一个有n个元素的数组，令下标从1开始，假如给出一堆询问，Q(L, R)，询问A[L] + A[L+1] + … + A[R]，怎样实现？

　　如果直接遍历的话，每次都需要O(n)的时间，太长。优化的办法也很简单，额外开一个数组S，令S[0] = 0， S[i]表示 A[1] + … + A[i]，则Q(L, R) = S[R] - S[L - 1]，先用O(n)的时间预处理，之后就能在O(1)的时间得到结果。

　　对于数组内元素固定不再动态变化的数组，这样就可以了。然而，如果再增加一个Add(i, d)的操作，代表令A[i] += d的操作，那么进行一次Add操作就要修改之后所有的前缀和，这样每次Add操作就需要O(n)的时间，又太长了。这个时候就用到了二叉索引树了。

　　二叉索引树用到了一个操作，lowbit。先介绍下，lowbit(x)求的是x的二进制表达式中最右边1对应的值，注意是对应的值而不是第几位，例如，lowbit(2) = 2，lowbit(3) = 1，lowbit(8) = 8。如何求lowbit(x)呢，也好办，lowbit(x) = x & -x，因为补码等于按位取反加一，这样算出来正好是需要的结果。

　　接下来就是二叉索引树的结构了，它是这个样的：

　　圆圈就是结点，纵坐标是lowbit的值，lowbit越大越靠近根。从圆圈中间向左的黑线表示该结点保存了哪个范围的连续和，lowbit值是1的点保存的就是自己本身的，例如，8这个点保存了从1号结点到8号结点的连续和。

　　由这个结构不难发现，对于结点i，它右边第一个lowbit值比它大的结点（如果存在）是i + lowbit(i)，它左边第一个lowbit值比它大的结点（如果存在）是i - lowbit(i)。

　　接下来就是怎么求和和怎么修改了。

　　求和的时候，例如要求前缀和S[i]，那么我们只需要顺着结点i一路向左上走，然后把沿途结点的值加起来就成了。例如求S[11]，路线为11→10→8，把这三个结点中保存的连续和加起来就可以了。不难发现，这些结点的连续和加起来正好是我们所求的前缀和。怎么往左上方走呢？也很简单，走到结点左边第一个lowbit值比它大的结点就行了，即减去结点自身的lowbit值。

　　而修改的时候，则是从结点一路向右上方走，不难发现，沿途经过的结点正好是需要更新的结点。

　　两个操作的时间复杂度均为O(logn)，使用前预处理，清空数组然后执行n次add操作，总的复杂度是O(nlogn)。

class BIT { // Binary Indexed Tree, BIT
public:
    static const int MAXN = 100000 + 10;
    int C[MAXN];
public:
    BIT() { memset(C, 0, sizeof(C)); }
    BIT(const BIT &b) { memcpy(this, &b, sizeof(BIT)); }
private:
    int lowbit(const int &x) const { return x & -x; }
public:
    void init() { memset(C, 0, sizeof(C)); }
    int sum(int x) const { // 求前缀和S[x]
        int ret = 0;
        while(x > 0) { ret += C[x], x -= lowbit(x); }
        return ret;
    }
    void add(int x, const int &d) { // 修改索引树，令A[x] += d
        while(x < MAXN) {
            C[x] += d; x += lowbit(x);
        }
    }
};