两个问题学基于归纳的算法设计思想

如果一个问题能够分成若干子问题，这些子问题结构与原问题相同但参数更小从而更易解决，这种问题就可以考虑归纳的算法思想。最近学到两个利用归纳思想可巧妙地解决的问题，觉得记下来值得慢慢回味。

问题1 给定一串实数a_n, a_n-1,……, a₁, a₀和一个实数x，计算多项式P_n(x)= a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+……+ a₁x+ a₀的值。

[解法一] 依次循环地计算出多项式各项，然后相加起来。这是最简单也是最低效的解法。共有n+(n-1)+……+1=n(n+1)/2次乘法和n次加法。

[解法二]将多项式分成子问题P_n-1(x)=a_n-1x^n-1+……+ a₁x+ a₀，这个子问题与原问题结构完全一样，只是项数是n-1，因此可以递归解决。

[归纳假设一]已知如何计算P_n-1(x)的值，求P_n(x)= a_nxⁿ+ P_n-1(x)。在这种归纳假设下计算P_n(x)是很容易的，但是与解法一在复杂度上没有区别，甚至由于递归调用而更差。

可以注意到，在计算P_n(x)时需要计算x的n次方，而P_n-1(x)时已知道x的n-1次方，利用这个信息可以省去不少重复计算，因此有如下归纳假设。

[归纳假设二]已知如何计算P_n-1(x)和x^n-1的值，求P_n(x)= a_nxⁿ+ P_n-1(x)。此时计算a_nxⁿ时只需要2次乘法，因此共需2n-1次乘法（n=1时只有一次）和n次加法，比假设一情况有了不少改善，这也是很多人能想到的。其实此算法还能进一步改进，逆向地思考如下

[归纳假设三]将问题分成这样的子问题，去掉常数a₀及使剩下每项的x降低一次幂，亦即P_n-1^’= a_nx^n-1+……+ a₂x+ a₁，于是P_n=x P_n-1^’+a­₀，这样于是只需要乘法和加法各n次，比归纳假设二又改进了不少。

问题2 从集合S={x₁, x₂,……, x_n}中找出最大和第二大的元素。

[解法一]当然可以直接进行2n-3次比较即可求出，最简单也最低效。

[解法二]将S平均分成两个子集合S₁和S₂，若知道了S₁的最大和第二大元素为p₁,p₂，S₂的最大和第二大元素为q₁,q₂，则通过比较p₁和q₁即可知S的最大值，再通过一次比较可知第二大元素。这样的时间复杂度递归表达式为T(2n)=2T(n)+2，解之T(n)=3n/2-2，这比解法一改善了一些。还有更复杂的算法可以将复杂度降到n-1+log₂n-1，实现更麻烦，不到关键时刻不能牛刀杀鸡，用时再学吧。