整数中的重要概念

    * 质数和合数：prime　numbers　and　composite　numbers

　　A　prime　number　is　a　positive　integer　that　has　exactly　two　different　 positive　divisors，1　and　itself.　For　example,　2,3,5,7,11,　and　13　are　 prime　numbers,　but　15　is　not,　since　15　has　four　different　positive　 divisors,　1,　3,　5,　and　15.　The　number　1　is　not　a　prime　number,　since　it　 has　only　one　positive　divisor.　Every　integer　greater　than　1　is　either　 prime　or　can　be　uniquely　expressed　as　a　product　of　prime　factors.　For　 example,　14=　(2)•(7),　81=　(3)•(3)•(3)•(3),　and　484=　(2)•(2)•(11)•(11).

　　注:　除了1和其本身外,　还有其他因子的数叫合数。最小的质数为2，最小的合数为4，在讨论质数和合数时，都指正数。1和0既不是质数，也不是合数。

    *　Perfect　square　完全平方数，诸如9　=　3^2
　
　　*　Perfect　cube　　完全立方数，诸如8　=　2^3

　　*　the　greatest　common　divisor　　最大公约数

　　几个数所公有的最大因子称最大公约数，诸如：48与36的公因子有1，2，3，4，6，12，其中12为最大公约数。

　　*　the　least　common　multiple　最小公倍数

　　几个数所公有的最小倍数称最小公倍数，诸如：3，7和14的最小公倍数为42。

　　*　连续正整数的算术平均值也是首项和末项的算术平均值。

　　同理，连续奇数与连续偶数的算术平均值也是首项和末项的算术平均值。

　　*　the　properties　of　the　number　of　factors　因子个数的特性：
　　1）当一个正整数n有奇数个因子，则n必为一完全平方数。
　　2）除了n的平方根为其中一个因子外，小于n的平方根的因子与大于n的平方根的因子数相同。
　　3）当某一正整数n有偶数因子时，则n必不是完全平方数，且大于n的平方根的因子与小于其的因子数相同。

　　*　因子数的求解公式：将整数n分解为质因子相乘的形式，然后将每个质因子的幂分别加1之后连乘所得的结果就是n的因子的个数。

　　例：80的因子个数可以如下方式求得：80　=　（2^4）•5，则因子个数为（4+1）（1+1）=　10

　　*　整除特性：
　　能够被2整除的数其个位一定是偶数。
　　能够被3整除的数是各位数的和能够被3整除。
　　能够被4整除的数是最后两位数能够被4整除。
　　能够被5整除的数的个位是0或5。
　　能够被8整除的数是最后三位能够被8整除。
　　能够被9整除的数是各位数的和能够被9整除。
　　能够被11整除的数是其奇数位的和减去偶数位的和的差值可以被11整除。

　　记住：一个数要想被另一个数整除，该数需含有对方所具有的质数因子。

　　*　整数n次幂尾数特性：
　　尾数为2的数的幂的个位数一定以2，4，8，6循环
　　尾数为3的数的幂的个位数一定以3，9，7，1循环
　　尾数为4的数的幂的个位数一定以4，6循环
　　尾数为7的数的幂的个位数一定以7，9，3，1循环
　　尾数为8的数的幂的个位数一定以8，4，2，6循环
　　尾数为9的数的幂的个位数一定以9，1循环

　　例：7^123　和3^321　的个位哪个大？
　　7和3幂的个位数均每4次循环一次，则将7^123的幂指数123÷4余3，因此7^123的个位数一定为3，同理将3^321的幂指数321÷4余1，则3^321的个位为3，则7^123和3^321个位数相同。