HDOJ2045. 不容易系列之(3)—— LELE的RPG难题(基础递推)

本文介绍了一个经典的RPG难题:用红、粉、绿三种颜色涂色排成一行的n个方格,要求相邻方格不同色且首尾不同色。通过递推公式f[i]=f[i-1]+2*f[i-2]求解所有可能的涂色方案。

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不容易系列之(3)—— LELE的RPG难题

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Problem Description
人称“AC女之杀手”的超级偶像LELE最近忽然玩起了深沉,这可急坏了众多“Cole”(LELE的粉丝,即"可乐"),经过多方打探,某资深Cole终于知道了原因,原来,LELE最近研究起了著名的RPG难题:

有排成一行的n个方格,用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子,每格涂一色,要求任何相邻的方格不能同色,且首尾两格也不同色.求全部的满足要求的涂法.

以上就是著名的RPG难题.

如果你是Cole,我想你一定会想尽办法帮助LELE解决这个问题的;如果不是,看在众多漂亮的痛不欲生的Cole女的面子上,你也不会袖手旁观吧?

 

Input
输入数据包含多个测试实例,每个测试实例占一行,由一个整数N组成,(0<n<=50)。
 

Output
对于每个测试实例,请输出全部的满足要求的涂法,每个实例的输出占一行。
 

Sample Input
1 2
 

Sample Output
3 6

【分析】基础递推 RPG问题

        要求:n个方格排成一行,用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个方格:1°每格涂一色 2°任何相邻的方格不能同色 3°首尾两格也不同色。

        根据题意,我们可以考虑在前(n-1)个方格之前均已涂好的情况下,准备为第n个方格涂色。设f[i]表示对排成一行的n个方格涂色,符合要求的方案总数。因此有以下两种情况:

        (1)第1个方格颜色与第(n-1)个方格颜色不同:此时第n个方格的颜色随之确定,为与第1个和第(n-1)个方格颜色均不同的另一种颜色,故方案总数为f[n-1];

        (2)第1个方格颜色与第(n-1)个方格颜色相同:此时第1个、第(n-1)个方格的颜色(这两者是相同的)均与第(n-2)个方格颜色不同,此时方案总数为前(n-2)个方格的涂色方案总数*最后一个方格的涂色方案总数(2),即2*f[n-2]。

        综上,f[i]=f[i-1]+2*f[i-2](边界:f[1]=3(红/粉/绿),f[2]=6(红+粉/绿,粉+红/绿,绿+红/粉),f[3]=6(红+粉+绿,红+绿+粉,粉+红+绿,粉+绿+红,绿+红+粉,绿+粉+红))

        此外,注意精度问题,使用long long int。

#include <stdio.h>
#define maxn 55
typedef long long ll;
ll n;
ll f[maxn];
void getF(ll *a)
{
	ll i,j,sum;
	f[1]=3,f[2]=6,f[3]=6;
	for(i=4;i<maxn;i++)
		f[i]=f[i-1]+2*f[i-2];
}
int main()
{
	getF(f);
	while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
		printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}


<think>好的,我需要解决用户关于HDOJ 2045题目的问题。首先,我要确定这道题的具体内容。HDOJ是杭州电子科技大学的在线判题系统,题目编号2045应该对应某个特定的编程问题。 用户要求的是解题思路或代码实现。根据我的知识库,HDOJ 2045的题目可能涉及到递推或动态规划的问题。比如,常见的递推题目可能是类似“容易系列”中的涂色问题,比如“RGB涂色问题”。假设题目是这样的:有排成一行的n个方格,用红、绿、蓝三种颜色涂每个格子,要求相邻和首尾能同色,求所有满足条件的涂法数目。 接下来,我需要回忆这类问题的解法。通常这类问题可以通过递推来找规律。例如,当n=1时,三种颜色都可以用,所以有3种方法。当n=2时,第一个格子有3种选择,第二个能与第一个相同,所以有3*2=6种。当n=3时,第三个能与第二个和第一个相同,但这时候需要考虑首尾是否相同的情况。 过可能更准确的是,题目中的限制是首尾也能相同,所以当n>=3时,递推公式需要考虑两种情况:前n-1个格子的首尾是否相同。假设当有k个格子时,总数为f(k),那么对于第k+1个格子,如果前k个的首尾同,则第k+1个格子有两种选择;如果相同的话,可能需要同的处理。或者更简单的方式,找到递推关系式。 比如,正确的递推公式可能是f(n) = 2*f(n-1) + f(n-2)过需要验证是否正确。或者另一种情况,当n=1时,3种;n=2时,3*2=6种;n=3时,3*2*1=6种?或者可能当n=3时,因为首尾能相同,所以第三个格子能等于第二个和第一个。这时候可能实际数目是6种?或者需要更仔细的分析。 可能正确的递推式是f(n) = 2*f(n-1) + 2*f(n-2)?或者更简单的,通过观察样例数据。例如,假设题目给出的样例输入输出是:当n=1时输出3,n=2时6,n=3时6,n=4时18,那么可能的递推式为f(n) = 2*f(n-1) + 2*f(n-2)。或者可能当n>=3时,递推式是f(n) = f(n-1)*2 + f(n-2)*2。但需要更仔细推导。 另外,可能的正确递推式是f(n) = 2*f(n-1) + f(n-2)。例如,当n=3时,根据递推式,f(3)=2*6 +3=15,这与假设的情况符,所以这可能正确。可能需要另一种思路。 正确的递推式应该是考虑当第n-1个颜色与第一个是否相同。例如,当增加第n个格子时,如果第n-1个颜色与第一个同,那么第n个格子有两种选择;如果相同,则有两种选择?或者这可能比较复杂。 或者,正确的递推式为:对于n个格子,第一个格子有3种选择,第二个有2种,第三个开始的每个格子需要考虑前一个格子的颜色,同时最后一个能与第一个相同。这种情况下,可以用递推式,但需要分情况讨论。 例如,当考虑前n-1个格子时,如果它们的首尾颜色相同,那么第n个格子有两种选择,因为能与第n-1个和第一个相同;如果前n-1个首尾颜色同,那么第n个格子有1种选择,因为能与第n-1个和第一个同中的那个。或者,这可能需要更详细的数学推导。 另一种思路是,总共有三种颜色,每个格子能与相邻的相同,且首尾同。这样的排列数可以用递推公式推导。这种情况下,可以参考环状排列的问题,但这里是线性的排列,但首尾视为相邻,所以问题类似于环状排列。 在环状排列的问题中,颜色数的公式是 (m-1)^n + (-1)^n (m-1),其中m是颜色数目。过这可能适用于线性排列首尾相连的情况。或者,可以将问题转化为线性排列,然后处理首尾同的情况。 对于线性排列,考虑首尾的情况下,总共有3*2^(n-1)种方法。但其中需要排除首尾相同的情况。因此,总数为:3*2^(n-1) - 符合条件的首尾相同的数量。但如何计算首尾相同的数量? 当首尾相同的情况下,可以视为将首尾固定为同一种颜色,此时中间的n-2个格子必须满足相邻同颜色,并且第2个到第n-1个格子之间的颜色也能相同。这可能形成一个递归的问题。 这时候,可以设f(n)为n个格子首尾同的情况数,g(n)为首尾相同的情况数。则: 总的情况数为f(n) + g(n) = 3*2^{n-1}。 但根据题目要求,需要f(n),即首尾同的情况数。 如何推导f(n)递推式? 假设对于n个格子,首尾同的情况数f(n),则当添加第n+1个格子时,我们需要保证原来的首尾同,并且新的尾(第n+1个)能等于第n个和原来的首。 但这种情况可能需要更复杂的递推。 另一种方法是,当首尾同时,可以递推得到: 当n=1时,存在首尾同的情况,但题目可能允许n>=3?或者可能题目中的n>=1,具体情况需要根据题目描述。 或者,正确的递推式可能为: 当n=1时,3种;n=2时,3*2=6种;n=3时,3*2*1=6种;n>=3时,递推式为f(n) = f(n-1) + 2*f(n-2)。例如,当n=4时,f(4)=6 + 2*6=18,这可能是正确的。而当n=3时,6种,符合。这样递推式可能成立。 此时,当n >=3时,f(n) = f(n-1) + 2*f(n-2)。例如: n=1 →3 n=2 →6 n=3 →6 =6 + 2*3? ,n=3时,按照递推式应该是f(3)=f(2)+2*f(1)=6+2*3=12,这与之前假设的6符,所以这说明递推式可能有误。 这表明我的思路有问题,需要重新分析。 正确的做法可能应该是:考虑当添加第n个格子时,前n-1个格子已经满足首尾同,并且第n个格子需要与第n-1个和第一个都同。这时候,当n>=3时,第n个格子只能选择一种颜色,因为如果第一个和第n-1个颜色同,那么第n个格子必须同于这两个颜色,所以只有1种选择。例如: 总的情况数f(n) = f(n-1) *1 + ? 或者,当n>=3时,每次增加一个格子需要考虑两种情况:前一个格子的颜色是否与第一个相同。或者这可能比较复杂。 或者,参考组合数学中的递推公式。对于线性排列,首尾同的条件,可以这样考虑: 设总共有f(n)种方法满足相邻同且首尾同的条件,g(n)为相邻同但首尾相同的情况数。 则: 当n=1时,g(1)=3(因为首尾相同),而f(1)=0? 这显然对,因为当n=1时,首尾相同是必然的,所以当题目要求首尾同时,n=1的情况可能存在。这可能说明题目中的n>=3? 或者题目中的n可能大于等于3?或者可能原题中的n是网格排成一列,并且首尾相连,但题目可能有同的条件。我需要重新确认题目。 假设题目确实是排成一列,首尾相连,但题目中的条件可能并非如此。例如,题目可能有同的条件,如每个格子相邻颜色同,但首尾颜色可以相同?或者题目可能要求首尾颜色同? 例如,假设题目是“有n个格子排成一列,每个格子涂色,颜色为R、G、B中的一种,相邻的能相同,且首尾也能相同,求总共有多少种方法?” 这时候,正确的递推式可能需要考虑。例如: 当n=1时,无法满足首尾同,因为只有一个格子,所以答案是0?或者题目中的n>=3? 或者可能原题中的n>=3? 但根据用户提供的题目编号是HDOJ 2045,我需要回忆或查找该题的具体内容。但根据我的知识库,HDOJ 2045的题目是“容易系列(3)—— LELERPG难题”,其描述是:有排成一行的n个方格,用红、绿、蓝三种颜色涂每个格子,每格涂一色,要求相邻的能同色,且首尾两格也能同色。求全部的满足要求的涂法总数。 根据这个描述,正确的递推公式是: 当n=1时,只有3种方法,但此时首尾相同,但题目中n=1的情况可能被排除?或者题目中的n>=2? 但根据问题描述,当n=1时,首尾存在,所以可能条件自动满足。但题目可能要求n>=2? 根据HDOJ 2045的实际情况,可能正确的递推式是: 当n == 1时,ans =3 当n ==2时,ans =6 当n >=3时,ans = 2* f(n-1) + f(n-2) 或者另一个可能的递推式是: f(n) = 2*f(n-1) + 2*f(n-2) 或者根据组合数学的推导,正确的递推式可能是: 当n >=3时,f(n) = 2*f(n-1) + f(n-2) 或者,正确的递推式是f(n) = 2^(n-1) + 2*(-1)^n,但这可能适用。 可能需要找到正确的递推关系。假设当有n个格子时,首尾同,那么可以考虑两种情况: 1. 第n-1个格子与第一个格子颜色相同。 在这种情况下,第n个格子必须与第n-1个(即第一个)同,同时也要与第n-1个同。此时,这种情况下的数目等于f(n-2) * 1 * 2?或者可能需要重新分析。 或者,正确的递推式可以通过以下方式推导: 当增加第n个格子时,前n-1个格子必须满足相邻同且首尾同。此时,第n个格子的颜色必须与第n-1个和第一个同。但是,这可能只有在第n-1个颜色与第一个颜色同的情况下才成立,而这种情况在n>=3时可能已经被满足。 例如,对于n个格子,假设前n-1个格子的首尾颜色同,那么第n个颜色必须与第n-1个和第一个颜色同。如果前n-1个格子的首尾颜色同,那么第一个和第n-1个颜色是同的,因此第n个颜色只能选择剩下的1种颜色。因此,这种情况下,数目等于前n-1个格子的总数(即满足条件的数目)乘以1。但此时前n-1个格子的首尾已经同,所以当添加第n个格子时,必须选择与第n-1和第一个同的颜色,因为第一个和第n-1个同,所以剩下的颜色有1种选择。所以这种情况下数目为f(n-1)*1。 但是,如果前n-1个格子的首尾颜色相同,那么此时可能无法满足题目条件。因为当n>=3时,原来的前n-1个格子首尾相同的情况可能存在吗?例如,当n=3时,前两个格子颜色同,第三个颜色必须与第二个同,但第三个也必须与第一个同,所以如果第三个颜色与第一个相同,那么就会导致首尾相同。这种情况下,原来的前n-1个格子可能有两种情况:首尾相同或同。 所以,正确的递推式可能需要分情况讨论: 设f(n)为n个格子满足条件的数目,即首尾同且相邻同。 当考虑n个格子时,前n-1个格子可能有两种情况: 1. 前n-1个格子的首尾颜色同:此时,第n个颜色必须与第n-1个和第一个同。由于第一个和第n-1个颜色同,所以剩下的颜色有1种选择。所以数目为f(n-1) *1。 2. 前n-1个格子的首尾颜色相同:此时,这种情况下,这样的数目设为g(n-1)。此时,第n个颜色必须与第n-1个(也就是第一个)颜色同,同时与第n-1个颜色同。因此,此时第n个颜色有2种选择。所以数目为g(n-1)*2。 因此,总的数目为:f(n) = f(n-1)*1 + g(n-1)*2. 但需要知道g(n-1)的表达式。而总共有,对于n-1个格子来说,总共有两种情况:首尾同(f(n-1))和首尾相同(g(n-1))。对于n-1个格子来说,总数目为f(n-1)+g(n-1) = 3*2^{n-2}?因为考虑首尾是否相同的情况下,每个格子相邻同的情况数是3*2^{n-1}?或者这可能正确。 或者,总的情况数对于n个格子,相邻同的情况数是3*2^{n-1}。其中,首尾同的数目是f(n),首尾相同的数目是s(n) = 3*2^{n-1} - f(n). 但此时我们需要找到f(n)递推式。 根据上面的分析,对于n个格子,首尾同的数目f(n) = s(n-1)*1 + f(n-1)*1? 或者可能需要重新推导。 另一个思路是,对于n个格子,相邻颜色同,总共有3*2^{n-1}种方法。其中,首尾颜色相同的数目为s(n),首尾同的数目为f(n) = 3*2^{n-1} - s(n). 我们需要找到s(n)递推式。例如,当首尾颜色相同时,可以将前n-1个格子看作一个环,但可能更复杂。 或者,可以推导s(n)递推式。当首尾颜色相同时,前n-1个格子必须相邻同,并且第n-1个颜色等于第一个颜色。这时候,相当于将前n-1个格子形成一个环,其中第一个和第n-1个颜色相同,而其他相邻同。这种情况下,数目可能等于s(n) = 2^{n-2} ? 或者,可以参考环排列的公式。对于环形排列,m种颜色,相邻同的数目为 (m-1)^n + (-1)^n (m-1). 当m=3时,数目是2^n + 2*(-1)^n。但这可能适用于环形排列的情况,而我们这里是线性排列但首尾视为相邻,因此可能类似环形的情况。 因此,在这种情况下,s(n) = (2^n + 2*(-1)^n). 例如,当n=3时,s(3)= 8 + (-2)=6? 但实际当n=3时,首尾相同的数目是多少? 假设n=3,三个格子,每个相邻同,且首尾相同。那么可能的颜色序列有:第一个颜色是R,第二个可以是G或 B。假设第二个是G,第三个必须是R(因为能与第二个相同,且首尾相同)。所以可能的序列是RGR, BGB,GRG,GBG,BRB, RBR? 但实际数目可能为6种?此时s(3)=6. 根据公式,当n=3时,代入s(n)=2^3 + 2*(-1)^3=8-2=6,与实际相符。因此,s(n)=2^n + 2*(-1)^n. 因此,首尾同的数目为f(n) =3*2^{n-1} - s(n) =3*2^{n-1} - (2^n +2*(-1)^n) = 3*2^{n-1} -2^n -2*(-1)^n = (3*2^{n-1} -2*2^{n-1}) ) -2*(-1)^n = 2^{n-1} - 2*(-1)^n. 简化得:f(n) =2^{n-1} + 2*(-1)^{n+1}. 例如,当n=3时,f(3)=2^{2} + 2*(-1)^4=4 +2=6,与之前的例子相符。当n=4时,f(4)=8 +2*(-1)^5=8-2=6?或者可能计算错误。或者原式应为f(n)=2^{n-1} + 2*(-1)^n ? 可能需要重新计算: 原式:f(n)=3*2^{n-1} - (2^n +2*(-1)^n) = 3*2^{n-1} -2^n -2*(-1)^n = (3*2^{n-1} - 2*2^{n-1}) ) -2*(-1)^n = (2^{n-1}) ) -2*(-1)^n. 所以,正确的表达式是f(n)=2^{n-1} + 2*(-1)^{n}. 例如,当n=3时,f(3)=4 +2*(-1)^3=4-2=2?这与之前的例子符,说明推导错误。 这表明我的推导有误,需要重新考虑。 或者,可能正确的公式是f(n) = 2^{n} + 2*(-1)^n. 例如,当n=3时,f(3)=8 +2*(-1)^3=8-2=6,这与之前的例子一致。当n=4时,f(4)=16 + 2*1=18,这可能正确? 此时,当n=4时,总共有3*2^3=24种相邻同的情况。首尾相同的数目s(4)=2^4 + 2*(-1)^4=16+2=18。那么首尾同的数目f(4)=24-18=6? 这与公式计算的f(4)=16+2=18矛盾,显然错误。 这表明我的推导过程存在严重错误,必须重新分析。 正确的思路应该是: 当问题变为环形排列时,即首尾相邻,此时数目为2^n + 2*(-1)^n(当m=3时)。但对于线性排列,首尾视为相邻的情况,是否等同于环形排列?或者这是同的情况。 可能在这种情况下,总的情况数等于环形排列的情况数,即2^n + 2*(-1)^n。但原问题中的条件是线性排列,但首尾被视为相邻,所以等同于环形排列。所以,首尾同的数目等于环形排列的数目。 但这与问题描述可能符,因为原问题中的排列是线性的,但题目要求首尾颜色同,所以总数目等于环形排列中满足相邻同的数目。 因此,答案应该是2^n + 2*(-1)^n。 例如,当n=3时,数目是2^3+2*(-1)^3=8-2=6种,符合前面的例子。当n=4时,数目是16+2=18种。那么对于HDOJ 2045,正确的递推式应该基于这个公式。 因此,正确的递推公式可以表示为: 当n=1时,0种(因为首尾无法同) 当n=2时,6种(每个颜色与前一个同,首尾同) 当n>=3时,数目为2^{n} + 2*(-1)^n. 但根据实际测试,例如当n=3时,3个格子,每个相邻同且首尾同的数目是6种,符合公式的结果。而当n=4时,数目为2^4 +2*(-1)^4=16+2=18种。这可能正确。 因此,用户需要的代码可能基于这个公式,或者使用递推式来实现。 现在,我需要编写相应的代码。例如,对于输入的n,当n=1时输出0,n>=2时计算2^{n} + 2*(-1)^n。或者,可能原题中的n>=1,但根据问题描述,当n=1时,首尾同无法满足,所以输出0。例如: 当n=1时,输出0 当n=2时,3*2=6种 当n>=3时,数目为2^{n-1} *2 + ... 可能按照递推式f(n)=f(n-1)*2 + 0之类的,但更直接的代码是使用公式。 因此,代码可以写成: 当n==1时,输出0 当n==2时,输出6 当n>=3时,输出 2**n + 2*(-1)**n 但需要验证这个公式是否正确。例如,当n=3时,2^3 +2*(-1)^3=8-2=6,正确。当n=4时,16+2=18,正确。当n=5时,32-2=30。 但根据递推式,如果使用递推,可能更容易处理大数问题。例如,当n很大时,直接计算2^n可能溢出。在HDOJ的题目中,可能需要处理大数,或者题目要求mod某个数。但根据用户提供的引用中,例如引用[4]提到mod 2^64,但确定是否该题需要处理。 根据HDOJ 2045的实际题目,可能当n很大时,需要计算结果,但由于没有取模,可能需要处理非常大的数。但可能题目中的n范围较小,或者允许使用递推式来计算。 因此,代码实现可以使用递推的方式。例如,根据递推式 f(n) = f(n-1)*2 + f(n-2)*2,当n >=4时?或者根据正确的递推式。 例如,观察之前的公式: f(n) = 2^n + 2*(-1)^n 那么递推式可以表示为: f(n) = 2^(n) + 2*(-1)^n 这可以转换为递推式吗?例如: 对于n >=3,f(n) = 2*f(n-1) + 2*f(n-2) ? 当n=3时,f(3)=6=2*6 +2*3=12+6=18? 这显然错误。所以这说明这个公式无法用简单的递推式表达,而必须直接计算。 因此,正确的代码应该根据数学公式直接计算结果。例如,在Python中,可以处理大整数,因此可以直接计算。 因此,当用户输入n时: 如果 n == 1: print(3) # 但根据公式,当n=1时,首尾可能,所以可能原题中的条件是否同? 这里存在矛盾,因为根据之前的推导,当n=1时,无法满足首尾同的条件,所以数目为0。但原题可能有同的条件。 需要重新确认HDOJ 2045题目的具体情况。根据我的知识库,HDOJ 2045的题目描述中,当n=1时,答案是3,因为首尾存在,所以条件自动满足,需要首尾同。或者可能原题的条件同? 例如,原题可能的条件是相邻同,但首尾可以同或者相同?或者可能题目中的条件在n=1时允许任何颜色? 例如,原题可能的条件是:当n=1时,任何颜色都可以,所以数目为3;当n>=2时,相邻颜色同,且首尾颜色同。这种情况下,当n=1时答案为3,n=2时答案为6(3*2),n>=3时使用公式。 这种情况下,正确的公式为: 当n==1时,3 当n==2时,6 当n >=3时,f(n)=2^{n-1} + 2*(-1)^{n} 例如: n=3 → 2^{2} + 2*(-1)^3=4-2=2? 但根据前面的例子,当n=3时,正确的数目应该是6?这说明我的公式可能错误。 这表明我的分析存在错误,必须重新思考。 回到原题,正确的递推式可能需要重新推导。 假设题目中的条件是:相邻同,且首尾同。求n个格子的涂色数目。 当n=1时,因为只有1个格子,没有相邻,所以三个颜色都可以,数目是3。但此时首尾的条件存在,所以可能题目中的条件在n>=2时才有首尾同的限制? 或者题目中的条件在n=1时无需考虑首尾,所以数目为3;当n>=2时,必须相邻同且首尾同。 例如,HDOJ 2045的正确递推式为: 当n=1 →3 n=2 →6 n>=3时,递推式f(n) = f(n-1)*2 + f(n-2)*1 或者,正确的递推式可能是f(n) = f(n-1) + 2*f(n-2) 例如: 当n=3时,f(3)=6+2*3=12? 但根据前面的例子,当n=3时,正确的数目应为6种,所以这显然错误。 这说明必须重新推导递推式。 正确的方法是: 设总共有n个格子,每个格子涂色,相邻同,且首尾同。 当n=1时,3种。 当n=2时,3*2=6种。 当n>=3时,考虑第n-1个格子的颜色与第一个的关系: 情况1:第n-1个格子的颜色与第一个同。此时,第n个格子必须与第n-1个和第一个都同。因为第n-1和第一个颜色同,所以第n个格子只能选择剩下的1种颜色。因此,这种情况下数目为 f(n-1) *1,其中f(n-1)是前n-1个格子满足首尾同的数目。 情况2:第n-1个格子的颜色与第一个相同。此时,第n个格子必须与第n-1个(即第一个)颜色同,因此有2种选择。但这种情况的数目等于前n-1个格子中首尾相同的数目,即总数目为前n-1个格子中首尾相同的数目乘以2。 但如何计算前n-1个格子中首尾相同的数目? 设s(n)为n个格子相邻同且首尾相同的数目,则总数目为f(n) + s(n) = 3*2^{n-1}. 当n >=3时,考虑如何求s(n): 当要得到s(n),即n个格子相邻同且首尾相同的情况,那么第n-1个颜色必须与第一个相同,并且前n-1个颜色必须满足相邻同。因此,这相当于将前n-2个格子排列成相邻同,且首尾与第n-1个颜色相同的条件。可能s(n)等于f(n-1) ? 或者,当n >=3时,s(n) = f(n-1) ? 这可能需要更仔细的推导。 例如,当n=3时,s(3)是首尾相同的情况数目。此时,第一个和第三个颜色相同,且相邻同。可能的颜色组合如RGR,GRG,BRB等。但具体数目是多少? 对于n=3: 第一个颜色有3种选择,第二个有2种,第三个必须等于第一个且与第二个同。例如: 第一个选R,第二个选G →第三个必须选R →一种情况。 第一个选R,第二个选B →第三个必须选R →另一种情况。 同样,第一个选G,第二个选R或 B →两种情况。 第一个选B,第二个选R或 G →两种情况。 总共有3 *2=6种情况?这样s(3)=6,而总数目为3*2^{2}=12种相邻同的情况,所以f(3)=12-6=6种。 当n=3时,f(3)=6种。 当n=4时,s(4)等于前4个格子首尾相同的数目。这时,s(4)= f(3) =6? 因为当n=4时,首尾相同的情况下,前3个格子必须满足相邻同且首尾同,并且第四个与第三个同且等于第一个。这可能正确。 或者,可能s(n)= f(n-1) ? 例如,当n=3时,s(3)=f(2)=6? 但此时s(3)=6,而总相邻同的数目是3*2^{2}=12,所以f(3)=12-6=6,这与前面一致。 当n=4时,s(4)=f(3)=6。此时,总相邻同的数目是3*2^3=24。f(4)=24-6=18. 这符合之前的例子,当n=4时,f(4)=18. 现在,推导递推式: 当n >=3时,f(n) = (总相邻同的数目) - s(n) =3*2^{n-1} - s(n). 而s(n)=f(n-1),因为s(n)等于前n-1个格子首尾同的数目?或者可能s(n) = ? 可能需要重新考虑。 观察: 当n=3时,s(3)=6,而f(2)=6. 当n=4时,s(4)=6,而f(3)=6. 当n=5时,s(5)=18,而f(4)=18. 因此,可以发现,s(n) =f(n-1). 因此,递推式可以写成: f(n) =3*2^{n-1} -f(n-1) 例如,当n=3时,3*2^{2}=12 -f(2)=12-6=6 →正确。 n=4 →3*2^3=24 -f(3)=24-6=18 →正确. n=5 →3*2^4=48 -f(4)=48-18=30. 此时,递推式是f(n) = 3*2^{n-1} -f(n-1), n>=2. 初始条件: 当n=1 →3 当n=2 →6 当n>=3时,使用递推式。 例如,n=33*2^{2} -6=12-6=6 →正确. n=4 →3*2^3 -6=24-6=18 →正确. n=5 →3*2^4 -18=48-18=30 →正确. 因此,正确的递推式是f(n) = 2*f(n-1) + 2*f(n-2) ? 或者是。 例如,将递推式改写为: f(n) +f(n-1) =3*2^{n-1} 此时,当计算f(n) =3*2^{n-1} -f(n-1) 例如,对于n=3:f(3)=3*4 -6=6 n=4: 3*8 -6=18 n=5:3*16-18=30. 这似乎是一个可行的递推式。那么,代码可以基于这个递推式来实现。 因此,当用户输入n时: 如果n ==1 →3 elif n ==2 →6 else: 从n=3开始,依次计算f(3) =3*2^{2} -6=12-6=6 f(4)=3*2^3 -6=24-6=18 f(5)=3*2^4 -18=48-18=30 依此类推。 因此,代码可以写成递推的方式,或者使用递归加记忆化,但递推更高效。 例如,Python代码: n = int(input()) if n == 0: print(0) elif n ==1: print(3) else: a, b =3,6 for i in range(2, n): a, b = b, 3*(2**i) -b print(b) 测试当n=3时,输出6;n=4时,输出18;n=5时,输出30。这与公式结果一致。 过,当n较大时,例如n=50,3*2^{n-1}会非常大,可能需要使用大整数或取模。但在原题中,可能没有取模要求,所以直接输出即可。 总结,HDOJ 2045的解题思路是使用递推式f(n) =3*2^{n-1} -f(n-1),初始条件为n=1时3,n=2时6。 现在,根据用户的问题,提供解题思路和代码实现。</think>### HDOJ 2045 解题思路 题目要求用红、绿、蓝三种颜色为$n$个排成一列的格子涂色,满足以下条件: 1. 相邻格子颜色同; 2. 首尾格子颜色同。 #### 递推分析 1. **基本情况**: - 当$n=1$时,只有1个格子,无需考虑首尾同,直接有$3$种方法。 - 当$n=2$时,第一个格子有$3$种选择,第二个格子有$2$种选择,共$3 \times 2 = 6$种方法。 2. **递推关系**: 对于$n \geq 3$,设$f(n)$表示$n$个格子的合法涂色数。考虑第$n$个格子的颜色选择: - 前$n-1$个格子的首尾颜色同(即$f(n-1)$种情况),此时第$n$个格子只能选择与第$n-1$个和第一个均同的颜色,共$1$种选择。 - 前$n-1$个格子的首尾颜色相同(即$s(n-1) = 3 \times 2^{n-2} - f(n-1)$种情况),此时第$n$个格子有$2$种选择。 由此可得递推式: $$ f(n) = f(n-1) \times 1 + \left(3 \times 2^{n-2} - f(n-1)\right) \times 2 = 3 \times 2^{n-1} - f(n-1) $$ #### 代码实现 ```python n = int(input()) if n == 1: print(3) else: a, b = 3, 6 for i in range(2, n): a, b = b, 3 * (2 ** i) - b print(b) ``` #### 示例 - 输入`1`,输出`3` - 输入`2`,输出`6` - 输入`3`,输出`6` - 输入`4`,输出`18` ###
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