P14919 [GESP202512 六级] 路径覆盖

记录134

#include<bits/stdc++.h> // 引入C++万能头文件，包含vector等常用标准库
using namespace std; // 使用标准命名空间std
#define ll long long // 定义长整型别名ll，因为代价c[i]最大为1e9，累加容易溢出int
const int N = 1e5 + 10; // 定义常量N，表示结点数量的最大范围
int n; // 定义全局变量n，表示结点的总数
vector<int> g[N]; // 定义邻接表g，g[u]存储结点u的所有子结点
ll c[N]; // 定义数组c，c[i]表示将结点i染为黑色所需的代价
ll dp[N]; // 定义dp数组，dp[i]表示以i为根的子树满足条件的最小代价

// 定义深度优先搜索函数，u表示当前正在处理的结点
void dfs(int u){
    ll sum=0; // 定义变量sum，用来累加当前结点所有子结点的dp值
    bool is_leaf=true; // 定义布尔变量is_leaf，标记当前结点是否为叶子结点
    for(int v:g[u]){ // 遍历当前结点u的所有子结点v
        is_leaf=false; // 只要有子结点，就说明u不是叶子结点
        dfs(v); // 递归处理子结点v，自底向上计算子结点的dp值
        sum+=dp[v]; // 将子结点v的最小代价累加到sum中
    }
    if(is_leaf){ // 如果当前结点u是叶子结点
        dp[u]=c[u]; // 叶子结点必须自己染色，否则它到自己的路径就没有黑点
    } else { // 如果当前结点u不是叶子结点
        // 状态转移：取“自己染黑”和“子结点们自己解决”两者中的较小值
        dp[u]=min(c[u], sum); 
    }
}

int main(){ // 主函数入口
    ios::sync_with_stdio(false); // 关闭标准流同步，提升输入输出效率
    cin.tie(0); // 解除cin与cout的绑定，加快读取速度
    cin>>n; // 读入结点的数量n
    // 循环读入n-1个父结点信息，并建立邻接表
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int f; // 定义临时变量f，表示结点i的父结点
        cin>>f; // 读入结点i的父结点编号
        g[f].push_back(i); // 在邻接表中将i加入f的子结点列表
    }
    // 循环读入n个结点的染色代价
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>c[i]; // 读入结点i的染色代价
    }
    dfs(1); // 从根结点1开始进行DFS，计算整棵树的最小代价
    cout<<dp[1]<<"\n"; // 输出以根结点1为根的子树的最小代价，即最终答案
    return 0; // 程序正常结束
}

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题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P14919

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前言

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 核心解题思路

这道题是一道经典的树形动态规划（Tree DP）问题。

1. 问题转化：
   题目要求所有叶子结点到根结点的路径上至少有一个黑色结点。我们可以将这个问题分解到每一棵子树中去解决。对于任意一个结点 u，要满足它子树内所有叶子到根的路径合法，只有两种最优的决策方案：

   • 方案一：结点 u 自己染成黑色。如果 u 是黑色的，那么从 u 的子树中任意叶子向上走到 u 时，路径上就已经有了黑色结点。此时，u 的子结点们无需再为了“向上覆盖”而承担额外代价，它们只需要各自管好自己的子树即可。
   • 方案二：结点 u 保持白色。如果 u 不染黑，那么为了覆盖 u 的子树中所有叶子的路径，u 的所有子结点 v 必须各自独立地满足条件（即 v 的子树内的叶子到 v 的路径必须有黑点）。

2. 状态定义与转移：
   定义 dp[u] 为：使得以 u 为根的子树中，所有叶子到 u 的路径上至少有一个黑色结点的最小代价。

   • 如果 u 是叶子结点：它必须自己染黑，dp[u] = c[u]。
   • 如果 u 不是叶子结点：取上述两种方案的最小值，即 dp[u] = min(c[u], sum(dp[v]))，其中 sum(dp[v]) 是 u 所有子结点 v 的 dp 值之和。

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 代码分块详细解释

1. 头文件、常量与全局变量定义

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std; 
#define ll long long // 定义长整型别名 ll，因为代价 c[i] 最大为 1e9，累加容易溢出 int
const int N = 1e5 + 10; // 定义常量 N，表示结点数量的最大范围
int n; // 定义全局变量 n，表示结点的总数
vector<int> g[N]; // 定义邻接表 g，g[u] 存储结点 u 的所有子结点
ll c[N]; // 定义数组 c，c[i] 表示将结点 i 染为黑色所需的代价
ll dp[N]; // 定义 dp 数组，dp[i] 表示以 i 为根的子树满足条件的最小代价

• 详细分析：由于染色代价 c_i 最大可达 10^9，在极端情况下累加可能会超出 int 的范围，因此 c 数组和 dp 数组必须使用 long long 类型。vector<int> g[N] 用于存储树的子结点关系，因为题目保证了父结点编号小于子结点（f_i < i），这实际上已经给出了一种拓扑序，但使用 DFS 递归处理更加直观。

2. 深度优先搜索（DFS）与状态转移

// 定义深度优先搜索函数，u 表示当前正在处理的结点
void dfs(int u){
    ll sum = 0; // 定义变量 sum，用来累加当前结点所有子结点的 dp 值
    bool is_leaf = true; // 定义布尔变量 is_leaf，标记当前结点是否为叶子结点
    for(int v : g[u]){ // 遍历当前结点 u 的所有子结点 v
        is_leaf = false; // 只要有子结点，就说明 u 不是叶子结点
        dfs(v); // 递归处理子结点 v，自底向上计算子结点的 dp 值
        sum += dp[v]; // 将子结点 v 的最小代价累加到 sum 中
    }
    if(is_leaf){ // 如果当前结点 u 是叶子结点
        dp[u] = c[u]; // 叶子结点必须自己染色，否则它到自己的路径就没有黑点
    } else { // 如果当前结点 u 不是叶子结点
        // 状态转移：取“自己染黑”和“子结点们自己解决”两者中的较小值
        dp[u] = min(c[u], sum); 
    }
}

• 详细分析：这是树形 DP 的核心。
  • 自底向上计算：通过 dfs(v) 先递归处理完所有子结点，拿到子结点的最优解 dp[v]。
  • 叶子结点处理：如果 u 是叶子，它没有任何子结点可以分担“覆盖路径”的责任，所以 dp[u] 只能等于它自身的染色代价 c[u]。
  • 非叶子结点贪心：如果 u 不是叶子，我们面临抉择。要么花费 c[u] 染黑自己，一劳永逸地覆盖所有子树路径；要么自己不染，把压力下放，让所有子结点各自承担自己的子树代价（即 sum）。取两者较小值即为 dp[u] 的最优解。

3. 主函数：建图与初始化

int main(){ 
    ios::sync_with_stdio(false); // 关闭标准流同步，提升输入输出效率
    cin.tie(0); // 解除 cin 与 cout 的绑定，加快读取速度
    cin >> n; // 读入结点的数量 n
    // 循环读入 n-1 个父结点信息，并建立邻接表
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        int f; // 定义临时变量 f，表示结点 i 的父结点
        cin >> f; // 读入结点 i 的父结点编号
        g[f].push_back(i); // 在邻接表中将 i 加入 f 的子结点列表
    }
    // 循环读入 n 个结点的染色代价
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> c[i]; // 读入结点 i 的染色代价
    }

• 详细分析：题目给出的输入是 f_2, f_3, ..., f_n，即每个结点的父结点。我们在读入时直接将其转化为子结点列表 g[f].push_back(i)，从而构建出一棵以 1 为根的有向树。

4. 启动 DP 与输出结果

    dfs(1); // 从根结点 1 开始进行 DFS，计算整棵树的最小代价
    cout << dp[1] << "\n"; // 输出以根结点 1 为根的子树的最小代价，即最终答案
    return 0; // 程序正常结束
}

• 详细分析：调用 dfs(1) 从整棵树的根结点开始递归。当递归返回时，dp[1] 中存储的就是使得整棵树（以 1 为根）所有叶子到根的路径上都有黑色结点的最小总代价。

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核心逻辑总结表

代码模块	核心变量/操作	精炼作用	解决的痛点
数据类型	#define ll long long	使用 64 位长整型	防止 105 个结点、每个代价 10^9 累加时发生数据溢出
树的存储	g[f].push_back(i)	建立父到子的有向边	将输入的父结点数组转化为便于 DFS 遍历的邻接表
叶子判断	bool is_leaf	标记当前结点是否有子结点	区分基础状态（叶子必须染）和递推状态（非叶子做抉择）
状态转移	dp[u] = min(c[u], sum)	树形 DP 核心贪心公式	在“自己承担代价”与“下放代价给子结点”之间做出最优选择
自底向上	dfs(v); sum += dp[v]	先递归子结点再合并	确保在计算父结点最优解时，所有子结点的最优解已经计算完毕