u‘s的影响力 （矩阵快速幂

u’s的影响力
题意：
给定一个数列， $f(1)=x,f(2)=y$，对于 $n>2,f(n)=f(n-1)\ast f(n-2)\ast a^b$
求 $f_n$，模 $1e9+7$
思路：
$f(1)=x$
$f(2)=y$
$f(3)=x\ast y\ast a^b$
$f(4)=x\ast y^2\ast a^{2b}$
$f(5)=x^2\ast y^3\ast a^{4b}$
$f(6)=x^3\ast y^5\ast a^{7b}$
手写前几个 $f(x)$ 可以找出规律，从第三项开始 $x,y$ 的次幂都是斐波那契数列 $(1,1,2,3,5...)$ 的某一项，然后 $a$ 的次幂也是递推的，递推式 $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}+1$ ，然后求一下系数矩阵，也可以用矩阵快速幂求得 $b$ 的系数。
但是要注意次幂显然是非常大，而且远大于 $\phi (p)$ 的，因此还需要欧拉降幂
注意如果 $x,y,a$ 和 $mod$ 不互质时直接输出 $0$ 即可
最后计算答案即可
code：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ld long double
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define eps 1e-6
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 9;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 3;

ll n, x, y, a, b;
struct mat{
	ll m[N][N];
	mat(){
		memset(m, 0, sizeof(m));
	}
};
mat mul(mat a, mat b, ll mo = mod - 1){
	mat tmp;
	for(int i = 0; i < N; ++i)
		for(int j = 0; j < N; ++j)
			for(int k = 0; k < N; ++k)
				tmp.m[i][j] = (tmp.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j] % mo) % mo;
	return tmp;
}
mat q_pow(mat a, ll b){
	mat ans;
	for(int i = 0; i < N; ++i) ans.m[i][i] = 1;
	while(b){
		if(b & 1){
			ans = mul(ans, a);
		}
		b >>= 1;
		a = mul(a, a);
	}
	return ans;
}
ll q_po(ll a, ll b, ll ans = 1){
	while(b){
		if(b & 1) ans = ans * a % mod;b >>= 1; a = a * a%mod;
	}return ans;
}
void work()
{
	cin >> n >> x >> y >> a >> b;
	x %= mod, y %= mod, a %= mod;// 记得取模一下
	b %= mod - 1;// 注意 b 是次幂，需要mod phi(mod) 
	if(!x || !y || !a){// 特判一下
		cout << 0 << endl;
		return;
	}
	if(n == 1) cout << x << endl;
	else if(n == 2) cout << y << endl;
	else
	{
		mat f;
		f.m[0][0] = f.m[0][1] = 1;
		mat base;
		base.m[0][0] = base.m[1][0] = base.m[0][1] = 1;
		f = mul(f, q_pow(base, n - 3));
		//cout << f.m[0][0] << " " << f.m[0][1] << endl;
		ll ans = q_po(x, f.m[0][1]) * q_po(y, f.m[0][0]) % mod;
		mat ba, st;
		ba.m[0][0] = ba.m[1][0] = ba.m[2][0] = ba.m[0][1] = ba.m[2][2] = 1;
		st.m[0][2] = 1;
		st = mul(st, q_pow(ba, n - 2));
		ans = ans * q_po(a, st.m[0][0] * b % (mod - 1)) % mod;//乘之前b需要模一下，不然爆 ll 
		cout << ans;
	}
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
//	int TT;cin>>TT;while(TT--)
	work();
	return 0;
}