快速乘技巧

最新推荐文章于 2025-09-08 22:06:42 发布

转载最新推荐文章于 2025-09-08 22:06:42 发布 · 147 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：https://www.cnblogs.com/812-xiao-wen/p/10543023.html

文章标签：

#算法

数论专栏收录该内容

17 篇文章

订阅专栏

本文介绍了在处理大整数乘法时可能会遇到的问题，如长整数溢出，并提出了解决方案，包括复杂度为log的快速乘、STL中的__int128类型以及一个巧妙利用溢出的O(1)快速乘方法。此外，还讨论了如何根据题目特性灵活转换算法以优化复杂度。示例代码展示了如何在模数较小的情况下实现接近O(1)复杂度的运算。

学习博客
（博主讲的巨好

在做乘法运算的有时候会爆 $l o n g$ $l o n g$ ，例如快速幂，这时候就可以用到快速乘。

一、复杂度为log的快速乘

我们知道乘法其实就是把很多个加法运算合到一起。现在我们的乘法会爆范围，那我们就把它转化为加法。一个一个加显然是不可能的，我们采用模拟二进制加法。

inline ll ksc(ll x, ll y, ll p){
	ll res = 0;// 和
	while(y){
		if(y & 1) res = (res + x) % p;
		x = (x << 1) % p; y>>=1;
	}return res;
}

二、stl __int128

stl模板库里的好东西，复杂度接近 $O (1)$ ，不过它需要手写输出，但是一般不用输出，只需要在运算的时候使用一下

long long ans=((__int128)x*y)%p

三、非常优秀的O(1)的快速乘

inline ll ksc(ll x,ll y,ll p){
	ll z=(ld)x/p*y;
	ll res=(ull)x*y-(ull)z*p;
	return (res+p)%p;
}
// ll 表示 long long
// ld 表示 long double
// ull 表示 unsigned long long
// 一种自动溢出的数据类型（存满了就会自动变为0）

它其实很巧妙的运用了自动溢出这个操作，代码中的 $z$ 表示 $\lfloor x \times y /p\rfloor$
$x\times y - \lfloor x \times y /p\rfloor \times p$
虽然这两个部分都是会溢出的，但（unsigned）保证了它们溢出后的差值基本不变，所以即使它会溢出也不会影响最终结果的！

四、关于快速乘的灵活转化：

我们知道快速乘的原理其实就是乘法转加法（上面这种不算），但是这是可以根据题目性质灵活转变的，我们如何转成加法决定了我们的复杂度，就像如果模数并没有超过int范围很多，那我们适当的运用乘法分配律可以让复杂度非常接近 $O (1)$

inline ll ksc(ll x, ll y, ll P){
    ll L=x*(y>>25)%P*(1<<25)%P;
    ll R=x*(y&((1<<25)-1))%P;
    return (L+R)%P;
}

在保证运算不会爆long long的前提下，我们可以尽量优化其复杂度，就像上述代码在模数小于 $10^{12}$ 的情况下完全变成了 $O (1)$ 级别，在某些题目中会十分优秀！