hdu-7113 Matrix 组合数学（计算贡献

Matrix
题意：一个 $n\times n$ 的矩阵，每个位置放置一个数，数的范围 $\in [1,n^2]$，从第 $1$ 行到第 $n$ 行，每行的最小值形成一个集合 $A=$ {$a_1,a_2,a_3...a_n$}，与集合 $B=$ {$1,2,3,....n$} 的交集生成集合 $S$， $|S|$ 表示集合 $S$ 所有数之和，求所有的 $S$ 集合的 $|S|$ 之和。
思路：
每一个矩阵可以生成一个集合 $A=$ {$a_1,a_2,a_3...a_n$}，与集合 $B$ 取交集进而生成一个集合 $S$。
我们考虑计算贡献
先看 $1$，无论它在矩阵的哪个位置始终会生成到集合 $A$，然后看 $2$，它只有与 $1$ 在同一行的时候才无法产生贡献，看 $3$，只有$1,2$ 的位置会对 $3$ 产生贡献有影响，然后我们可以发现，对于 $i\in (1,2,3,...n)$，只有 $<i$ 的 $i-1$个数的位置会对 $i$ 产生的贡献有影响。
一开始我考虑用所有的情况 $-$ 无法产生贡献的情况去计算答案（$n=2$的时候过样例了以为写对了，结果一直wa，写的代码比较烂，有时候还T），然后发现情况比较复杂，如果考虑直接计算产生贡献的情况其实是不复杂的。
我们先选定 $i$ ，然后给在 $n^2-i$ 个 数中选 $n-1$ 个数来和它在一排（$C_{n^2-i}^{n-1}$），然后乘以这一行的全排列 $A_n^n$，然后乘以 $C_n^1$，确定这行在哪，然后再安排剩下的 $n^2-n$ 个数。
首先选出 $n$ 个数，$C_{n^2-n}^n$ 在一行，然后全排列
然后继续选 $n$ 个数， $C_{n^2-2n}^n$ 在一行，然后全排列
…
然后我们把它写成分数的形式就可以发现可以化简
$n!\frac{(n^2-n)!}{n!(n^2-2n)!}\times$ $n!\frac{(n^2-2n)!}{n!(n^2-3n)!}\times$ $n!\frac{(n^2-3n)!}{n!(n^2-4n)!}\times$ … $n!\frac{2n!}{n!n!}\times$ $n!\frac{n!}{n!0!}$
然后我们可以发现，每一项分子分母都有 $n!$，就都约掉了，分母的一部分可以和后一项分子约掉，最后剩下 $(n^2-n)!$

举个例子简化这个过程：比如有 $1,2,3,4,5$ 这 $5$ 个数，求全排列，其中 $3$ 是特殊的，我们先安排3的位置，有 $5$个位置可以选择，然后考虑其他的数$C_4^1$，再选一个 $C_3^1$，继续 $C_2^1$，$C_1^1$，最后得到 $A_5^5$。
所以我们得到公式
$$\sum _{i=1}^{i=n}{C}_{n^2-i}^{n-1}{A}_n^n{C}_n^1(n^2-n)!$$
（其实好像也可以这么理解，安排第一行和它的位置之后，剩下的数进行全排列。

我们预处理一下所有的阶乘，注意计算组合数的时候就没必要用 $for$ 来计算，直接用阶乘+逆元求得，不然也会 $TLE$。
复杂度：$O(nlog(n))$
code：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 5e3 + 9;
const int maxm = 2e7 + 5e6 + 9;
const int mod = 998244353;
ll A[maxm];
ll n;
ll q_pow(ll a, ll b){
    ll ans = 1;while(b){
        if(b & 1) ans=(ans*a)%mod;a=(a*a)%mod;b>>=1;
    }return ans;
}
ll zh(ll n, ll m)
{
    ll ans1 = A[n] * q_pow(A[n-m],mod-2) % mod;
    return ans1 * q_pow(A[m], mod-2ll) % mod;
}
void work()
{
    scanf("%lld", &n);
    ll ans = 0;
    ll tmp = n * n;
    ll tt = A[tmp-n] * n % mod;// 观察可以发现这项可以提出来最后算
    for(ll i = 1; i <= n; ++i) 
    {
        ll x = zh(tmp-i, n-1) * A[n] % mod;
        ans = (ans + x % mod) % mod;
    }
    printf("%lld\n", ans*tt%mod);
}

int main()
{
    A[0] = 1;
    for(ll i = 1; i <= maxm - 9; ++i) A[i] = A[i-1] * i % mod;
    int TT;scanf("%d",&TT);while(TT--)
    work();
    return 0;
}