【UVA】10795 A Different Task-汉诺塔&递归

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题解

首先锁定编号最大的盘子，若它就在目标柱子上，则不移动它是最优的。而将其移动到目标柱子后，剩下的编号更小的盘子之间的移动不会受任何影响。所以每次先将编号最大的盘子(假设为$x$)移到目标柱子上。

设$x$初始位于$st$柱子上，目标柱子为$ed$，将$x$从$st$移动到$ed$时，$1,2,...,x-1$号盘子必然不在$st/ed$上，所以还需要提前把$1,2,...,x-1$整体移动到$6-st-ed$上(盘子编号分别为$1,2,3$)。

移动盘子的过程可逆，所以答案即为：将初始状态移动到上述局面的步数+目标状态移动到上述局面的步数+1。设函数$F(p,x,fl)$($p$数组表示当前局面各盘子初始在的柱子编号，将$1,2,...,x$移动到目标柱子$fl$的步数)。
则$ans=F(st,x-1,6-s{t}_x-e{d}_x)+F(ed,x-1,6-s{t}_x-e{d}_x)+1$。

对于$F(st,x,fl)$当$s{t}_x=fl$时，$F(st,x,fl)=F(st,x-1,fl)$，否则$F(st,x,fl)=F(st,x-1,6-s{t}_x-f{l}_x)+2^{x-1}$
将$1,2,...,x-1$整体移动到$6-s{t}_x-f{l}_x$后又整体移回$fl$，根据汉诺塔问题的结论，移动步数为$2^{x-1}-1$。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ans;
int n,st[70],ed[70];

ll F(int *p,int x,int fl)
{
	if(!x) return 0;
	if(p[x]==fl) return F(p,x-1,fl);
	return F(p,x-1,6-p[x]-fl)+(1LL<<(x-1));
}

int main(){
	int i,j;
	for(j=1;;++j){
		scanf("%d",&n);if(!n) break;
		for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&st[i]);
		for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&ed[i]);
		for(;n && st[n]==ed[n];--n);ans=0;
		if(n) ans=F(st,n-1,6-st[n]-ed[n])+F(ed,n-1,6-st[n]-ed[n])+1;
		printf("Case %d: %lld\n",j,ans);
	}
	return 0;
}