704. 二分查找

704. 二分查找

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/binary-search/

给定一个n个元素有序的（升序）整型数组nums和一个目标值target ，写一个函数搜索nums中的target，如果目标值存在返回下标，否则返回-1。

示例 1:       
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9     
输出: 4       
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4     


示例 2:   
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2     
输出: -1        
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1        

提示：    

* 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
* n 将在 [1, 10000]之间。
* nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

思路：

这道题目的前提是数组为有序数组，同时题目还强调数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的，这些都是使用二分法的前提条件，当大家看到题目描述满足如上条件的时候，可要想一想是不是可以用二分法了。

二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，但就是写不好。例如到底是while(left < right)还是while(left <= right)，到底是right = middle呢，还是要right = middle - 1呢？

大伙们写二分法经常写乱，主要是因为对区间的定义没有想清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。

写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right)。

下面我用这两种区间的定义分别讲解两种不同的二分写法。

二分法第一种写法：

第一种写法，我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right] （这个很重要非常重要）。

区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写，因为定义target在[left, right]区间，所以有如下两点：

* while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=
* if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1

例如在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：

代码如下：（详细注释）

```Java

class Solution {

    public int search(int[] nums, int target) {

        // 避免当 target 小于nums[0] nums[nums.length - 1]时多次循环运算

        if(target<nums[0]||target>nums[nums.length-1]){

            return -1;

        }

        int left=0;

        int right=nums.length-1;// 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]

        while(left<=right){// 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=

            int middle = left + ((right-left)/2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2

            if(nums[middle]>target){

                right = middle-1;// target 在左区间，所以[left, middle - 1]

            }

            else if(nums[middle]<target){

                left = middle+1;// target 在右区间，所以[middle + 1, right]

            }

            else{// nums[middle] == target

                return middle;// 数组中找到目标值，直接返回下标

            }

        }

        //未找到目标值

        return -1;

    }

}

```

二分法第二种写法:

如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。

有如下两点：

* while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
* if (nums[middle] > target) right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]

在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：（注意和方法一的区别）

代码如下：（详细注释）

```java
class Solution {

    public int search(int[] nums, int target) {

        int left = 0, right = nums.length; // 定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)

        while (left < right) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <

            int mid = left + ((right - left) >> 1);

            if (nums[mid] == target)

                return mid; // 数组中找到目标值，直接返回下标

            else if (nums[mid] < target)

                left = mid + 1; // target 在右区间，在[middle + 1, right)中

            else if (nums[mid] > target)

                right = mid; // target 在左区间，在[left, middle)中

        }

        // 未找到目标值

        return -1;

    }

}
```

总结:

二分法是非常重要的基础算法，为什么很多同学对于二分法都是一看就会，一写就废？

其实主要就是对区间的定义没有理解清楚，在循环中没有始终坚持根据查找区间的定义来做边界处理。

区间的定义就是不变量，那么在循环中坚持根据查找区间的定义来做边界处理，就是循环不变量规则。

本篇根据两种常见的区间定义，给出了两种二分法的写法，每一个边界为什么这么处理，都根据区间的定义做了详细介绍。

相信友友们看完本篇应该对二分法有更深刻的理解了。