堆及堆排序

    我们通常所谓的数据结构堆（heap）其实是一种二叉树，叫二叉堆。另外还有几种不太常用的堆（二项式堆，菲波拉契堆）在此我们不做描述。

   二叉堆的定义：

   二叉堆是完全二叉树或者近似完全二叉树（这里又引入了完全二叉树的概念）。

   二叉堆满足两个特性：

   1.父节点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值；

   2.每个节点的左子树和右子树都是一个二叉堆。

   这定义了一个大顶堆（小顶堆）。

  存储堆：

   我们一般用数组来存储二叉堆，构成了一个序列 k0，k1....ki....kn-1 。按照上述定义，节点ki的两个子节点存储在k2i+1和k2i+2处， 满足 ki >= k2i+1 并且ki >=k2i+2。

   堆的操作包含：

  创建：插入法：从空堆开始，依次插入每个节点，直到所有节点插入，然后将堆所有数据重新排序使之满足大顶或小顶堆的要求。时间复杂度： O(n*log(n))

         调整法：序列对应一个完全二叉树；从最后一个分支结点（n div 2）开始，到根（1）为止，依次对每个分支结点进行调整（下沉），以便形成以每个分支结点为根的堆，当最后对树根结点进行调整后，整个树就变成了一个堆。

        调整法如图所示，

  从n div 2 =5，开始进行调整，即从72这个节点开始调整，依次调整72，53，18，36，45：

     

  插入：堆插入的元素都是放到数组的最后一个元素。然后进行调整，使之成为大顶堆（小顶堆）。

  调整（Max_Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点。可以发现，插入节点的父节点到根节点之间一定是个有序的排列，那么我们的调整就是基于这个序列，使新元素在新序列的合适位置，整个序列保持有序即可构成一个新的打顶堆（小顶堆）。

  如图所示，首先在一个大顶堆{93, 72, 48, 53, 45, 30, 18, 36, 15, 35 }里插入键值为80的这个元素，变成了{93, 72, 48, 53, 45, 30, 18, 36, 15, 35 ， 80} 。调整：93-》72-》45-》80为有序数列： 93-》80-》72-》45。于是就变成了｛93,80,48,53,72,30,18,36,15,35,45｝

 

删除：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔,填充这个孔的方法就是， 把最后的叶子的值赋给该孔并下调到合适位置，最后把该叶子删除。 比如删除72这个节点，先用最后一个元素35来代替72，然后做调整：取左右子树节点的较大者来替换自己，自己则下调的左右子树根节点，依次类推，直到满足大顶堆条件。

  

  堆排序： 原理是利用最大堆的顶是最大的元素，然后取出顶部元素。然后对剩下的元素集合再调整构成新的大顶堆，如此反复即可完成排序。

        初始调用BuildMaxHeap将a[1..size]变成最大堆；

        因为数组最大元素在a[1]，则可以通过将a[1]与a[size]互换达到正确位置；

       现在新的根元素破坏了最大堆的性质，所以调用MaxHeapify调整；

       使a[1..size-1]成为最大堆，a[1]又是a[1..size-1]中的最大元素；

       将a[1]与a[size-1]互换达到正确位置；

       反复调用Heapify，使整个数组成从小到大排序；

注意： 交换只是破坏了以a[1]为根的二叉树最大堆性质，它的左右子二叉树还是具备最大堆性质。这也是为何在BuildMaxHeap时需要遍历size/2到1的结点才能构成最大堆，而这里只需要堆化a[1]即可。

  堆的用途：

      在找top N的场景下经常使用。

  STL中的堆：

        make_heap(); //构造堆

        push_heap();//插入堆元素

        pop_heap//删除堆元素

        sort_heap();//堆排序