Round #51 Beautiful numbers —— 数位dp

最新推荐文章于 2021-06-12 00:41:41 发布

原创最新推荐文章于 2021-06-12 00:41:41 发布 · 767 阅读

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本文介绍了一种算法，用于计算指定区间内能够被自身所有非零数字整除的数的数量。通过预先计算最小公倍数和使用动态规划优化搜索过程，实现了高效求解。

题意：求在给定区间内满足能被自身的所有非零位整除的数的个数。

1,2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍数为2520，1到9内任意数字组合的最小公倍数都是2520的因子，那我们在dfs的时候记录目前数模上2520的值pre，同时记录已选数的最小公倍数，到递归结束的时候判断pre模上所有已选数的最小公倍数是否为零。

还有一点是：事先把所有的公倍数预处理出来。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define lng long long
using namespace std;

const int maxn = 3000;
lng dp[19][50][2550];
lng a, b;
int num[20], tot;
int s[50], s1[maxn];
int l[50][50];

int gcd(int x, int y) { return y == 0 ? x : gcd(y, x % y); }

void init()
{
    int lcm, c = 0;
    for(int x1 = 0; x1 < 4; ++x1)
    {
        for(int x2 = 0; x2 < 3; ++x2)
        {
            for(int x3 = 0; x3 < 2; ++x3)
            {
                for(int x4 = 0; x4 < 2; ++x4)
                {
                    int tmp = 0;
                    lcm = 1 << x1;
                    while(tmp < x2) { lcm *= 3; tmp++; }
                    lcm *= x3 ? 5 : 1; lcm *= x4 ? 7 : 1;
                    s[c] = lcm;
                    s1[lcm] = c++;
                }
            }
        }
    }
    for(int i = 0; i < 48; ++i)
    {
        for(int j = i; j < 48; ++j)
        {
            int tmp = s[i] * s[j] / gcd(s[i], s[j]);
            l[i][j] = l[j][i] = s1[tmp];
        }
    }
}

lng dfs(int pos, int sta, int pre, int ok)
{
    if(pos == -1) return pre % s[sta] == 0;
    if(!ok && dp[pos][sta][pre] != -1) return dp[pos][sta][pre];
    lng ans = dfs(pos - 1, sta, (pre * 10) % 2520, ok && num[pos] == 0);
    int end = ok ? num[pos] : 9;
    for(int i = 1; i <= end; ++i)
    {
        ans += dfs(pos - 1, l[sta][s1[i]], ((pre * 10) + i) % 2520, ok && i == end);
    }
    if(!ok) dp[pos][sta][pre] = ans;
    return ans;
}

lng calc(lng n)
{
    tot = 0;
    while(n) { num[tot++] = n % 10; n /= 10; }
    lng ans = dfs(tot - 1, 0, 0, 1);
    return ans;
}

void prework()
{
    cin >> a >> b;
}

void solve()
{
    cout << calc(b) - calc(a - 1) << "\n";
}

int main()
{ 
    memset(dp, 0xff, sizeof(dp));
    init();
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    int t; cin >> t;
    while(t--)
    {
        prework();
        solve();
    }
    return 0;
}