背包问题

有n 个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

二、动态规划的原理及过程：

eg：number＝4，capacity＝8

i	1	2	3	4
w(体积)	2	3	4	5
v(价值)	3	4	5	6

1.原理

动态规划是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。动态规划则通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。

2.过程

（1）用v[i]表示物品价值，w[i]表示物品重量。定义状态dp[i][j]以j为容量为放入前i个物品(按i从小到大的顺序)的最大价值。

（2）初始化边界条件，V(0,j)=V(i,0)=0；

（3）对于每一个物品，有两种选择方法，能装下和不能装下。

第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；

第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；

（4）得出递推关系式：

① j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j) //只是为了好理解，可以不用写，不会影响结果。

② j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝
3.图解

1.初始状态将边界初始化为0。j表示背包的的重量，i表示第i个物品，填表方式为一行一行的填，每次填写的时候取 V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)中的较大值

2.将数组更新完则是这样的情况。随便取一个举例子，比如第二行第五个的7。它是由3，v[2][2]+4=7中的较大值比较出来的。

代码：

#include <iostream>

using namespace std;

int w[105], val[105];
int dp[105][1005];

int main()
{
    int t, m, res=-1;
    cin >> t >> m;
    for(int i=1; i<=m; i++)
        cin >> w[i] >> val[i];
    
    for(int i=1; i<=m; i++) //物品 
        for(int j=t; j>=0; j--) //容量 
        {
            if(j >= w[i])
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+val[i], dp[i-1][j]);
            else      //只是为了好理解
                dp[i][j] = dp[i-1][j];           
        }
    cout << dp[m][t] << endl;
    return 0;
}