本文介绍了使用动态规划解决二叉树的先序遍历、01背包问题以及区间处理问题。具体包括：根据中序和后序遍历构造先序遍历、01背包求解剩余空间最小值、处理区间覆盖问题以及通过动态规划优化纪念品分组，以达到最少分组数。文章深入浅出地展示了动态规划在不同场景下的应用。
ALGO-20. 求先序排列列！！！！
问题描述
给出⼀一棵二叉树的中序与后序排列。求出它的先序排列列。（约定树结点⽤不同的⼤写字母表示，⻓度
<=8）。
输⼊入格式
两行，每行⼀个字符串，分别表示中序和后序排列
输出格式
⼀个字符串，表示所求先序排列
样例例输⼊入
BADC
BDCA
样例例输出
ABCD
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
string in,post,ans="";
void pre(int root,int l,int r){
if(l>r) return;
int i=r;
while(post[root]==in[i])
i--;
ans+=post[i];
pre(root-1+i-1,l,i-1);
pre(root-1,i+1,r);
}
int main(){
cin>>in>>post;
pre(post.length()-1,0,in.length()-1);
cout<<ans;
return 0;
}
这里采用递归的方法进行
同类型扩展：
知先序遍历、中序遍历求后序遍历：
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn = 100;
int n;
char a[maxn], b[maxn];
void dfs(int la, int ra, int lb, int rb) {
printf("%d %d %d %d",&la,&ra,&lb,&rb);
if (la > ra)
return;
int md;
for (md = la; a[md] != b[lb]; md ++);
dfs(la, md - 1, lb + 1, lb + md - la);
dfs(md + 1, ra, lb + md - la + 1, rb);
putchar(b[lb]);
}
int main() {
scanf("%s", b + 1);
scanf("%s", a + 1);
n = strlen(a + 1);
dfs(1, n, 1, n);
putchar(10);
}
ALGO-21. 装箱问题（动态规划，01背包）
问题描述
有⼀一个箱⼦子容量量为V（正整数，0＜＝V＜＝20000），同时有n个物品（0＜n＜＝30），每个物品
有⼀一个体积（正整数）。
要求n个物品中，任取若⼲干个装⼊入箱内，使箱⼦子的剩余空间为最⼩小。
输⼊入格式
第⼀一⾏行行为⼀一个整数，表示箱⼦子容量量；
第⼆二⾏行行为⼀一个整数，表示有n个物品；
接下来n⾏行行，每⾏行行⼀一个整数表示这n个物品的各⾃自体积。
输出格式
⼀一个整数，表示箱⼦子剩余空间。
样例例输⼊入
24
6
8
3
12
7
9
7
样例例输出
0
思考：
一般这种寻求合不合适的方案用动态规划进行
dp[i][j]代表前i中东西放置到体积为j的包内
如果物品体积能够放进去：
可以选择放或者不放
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-t]+t)
如果物品体积不能够放进去：
dp[i][j]=dp[i-1][j]
最后输出v-dp[n][v]即可
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int dp[31][20001];
int main(){
int v,n;
cin>>v>>n;
int t;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>t;
for(int j=1;j<=v;j++)
{
if(j>=t)
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-t]+t);
else
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
cout<<v-dp[n][v];
return 0;
}
ALGO-29. 校⻔门外的树（区间处理理）
问题描述
某校⼤大⻔门外⻓长度为L的⻢马路路上有⼀一排树，每两棵相邻的树之间的间隔都是1⽶米。我们可以把⻢马路路看
成⼀一个数轴，⻢马路路的⼀一端在数轴0的位置，另⼀一端在L的位置；数 轴上的每个整数点，即0，1，2，
……，L，都种有⼀一棵树。
由于⻢马路路上有⼀一些区域要⽤用来建地铁。这些区域⽤用它们在数轴上的起始点和终⽌止点表示。已 知任
⼀一区域的起始点和终⽌止点的坐标都是整数，区域之间可能有重合的部分。现在要把这些区域中的树
（包括区域端点处的两棵树）移⾛走。你的任务是计算将这些树 都移⾛走后，⻢马路路上还有多少棵树。
输⼊入格式
输⼊入⽂文件的第⼀一⾏行行有两个整数L（1 <= L <= 10000）和 M（1 <= M <= 100），L代表⻢马路路的⻓长
度，M代表区域的数⽬目，L和M之间⽤用⼀一个空格隔开。接下来的M⾏行行每⾏行行包含两个不不同的整数，⽤用⼀一个
空格隔开，表示⼀一个区域的起始点 和终⽌止点的坐标。
输出格式
输出⽂文件包括⼀一⾏行行，这⼀一⾏行行只包含⼀一个整数，表示⻢马路路上剩余的树的数⽬目。
样例例输⼊入
500 3
150 300
100 200
470 471
样例例输出
298
数据规模和约定
对于20%的数据，区域之间没有重合的部分；
对于其它的数据，区域之间有重合的情况。
思考：
通过动态数组进行筛选就很简单了
注意它是由0开始的
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main(){
int L,M;
cin>>L>>M;
vector<int >v(L+1,1);
int a,b;
int count=0;
while(M--)
{
cin>>a>>b;
for(int i=a;i<=b;i++)
v[i]=0;
}
for(int i=0;i<=L;i++)
if(v[i]==1)
count++;
cout<<count;
return 0;
}
ALGO-30. ⼊入学考试（01背包，动态规划）
问题描述
⾠辰辰⾠辰辰是个天资聪颖的孩⼦子，他的梦想是成为世界上最伟⼤大的医师。为此，他想拜附近最有威望的
医师为师。医师为了了判断他的资质，给他出了了⼀一个难题。医师把他带到⼀一个到处都是草药的⼭山洞洞⾥里里对
他说：“孩⼦子，这个⼭山洞洞⾥里里有⼀一些不不同的草药，采每⼀一株都需要⼀一些时间，每⼀一株也有它⾃自身的价值。
我会给你⼀一段时间，在这段时间⾥里里，你可以采到⼀一些草药。如果你是⼀一个聪明的孩⼦子，你应该可以让
采到的草药的总价值最⼤大。”
如果你是⾠辰辰⾠辰辰，你能完成这个任务吗？
输⼊入格式
第⼀一⾏行行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），⽤用⼀一个空格隔开，T代表总共能
够⽤用来采药的时间，M代表⼭山洞洞⾥里里的草药的数⽬目。接下来的M⾏行行每⾏行行包括两个在1到100之间（包括1
和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出格式
包括⼀一⾏行行，这⼀一⾏行行只包含⼀一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最⼤大总价值。
样例例输⼊入
70 3
71 100
69 1
1 2
样例例输出
3
数据规模和约定
对于30%的数据，M <= 10；
对于全部的数据，M <= 100。
思考：
看题目获得最大总价值就可以知道它是要通过动态规划进行
dp[i][j]代表前i秒采草时包内容量为j，整个值的大小表示的是采草药的最大价值
如果包内容量能够放进去：
可以选择放或者不放
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-t]+v)
如果包内容量不能够放进去：
dp[i][j]=dp[i-1][j]
最后输出dp[m][T]即可
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[100][1000];
int main(){
memset(dp,0,sizeof(dp));
int T,m;
cin>>T>>m;
int t,v;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>t>>v;
for(int j=1;j<=T;j++)
{
if(j>=t)
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-t]+v);
else
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
cout<<dp[m][T];
return 0;
}
ALGO-31. 开⼼心的⾦金金明（01背包，动态规划）
问题描述
⾦金金明今天很开⼼心，家⾥里里购置的新房就要领钥匙了了，新房⾥里里有⼀一间他⾃自⼰己专⽤用的很宽敞的房间。更更
让他⾼高兴的是，妈妈昨天对他说：
“你的房间需要购买哪些物品，怎 么布置，你说了了算，只要不不超过N元钱就⾏行行”。今天⼀一早⾦金金明就开始
做预算，但是他想买的东⻄西太多了了，
肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了了⼀一 个重要度，分为5等：⽤用整数1~5表示，第
5等最重要。他还从因特⽹网上查到了了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不不超过N元（可以等于
N元）的前提 下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最⼤大。
设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了了k件物品，编号依次为 j1，j2，……，jk，则所
求的总和为：
v[j1]*w[j1]+v[j2]w[j2]+ …+v[jk]w[jk]。（其中为乘号）
请 你帮助⾦金金明设计⼀一个满⾜足要求的购物单。
输⼊入格式
输⼊入⽂文件 的第1⾏行行，为两个正整数，⽤用⼀一个空格隔开：
N m
（其中N（<30000）表示总钱 数，m（<25）为希望购买物品的个数。）
从第2⾏行行到第m+1⾏行行，第j⾏行行给出了了编号为j-1的物品的基本数据，每⾏行行有2个⾮非负整数
v p
（其中v表示该物品的价格(v<=10000)，p表示该物品的重要度(1~5)）
输出格式
输出⽂文件只有⼀一个正整数，为不不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最⼤大值
（<100000000）。
样例例输⼊入
1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2
样例例输出
3900
思考：
老样子！获得最大值即是动态规划问题，分为买或者不买
dp[i][j]表示对于前i件物品选择部分购买限定总价不不超过j元后，物品的价格与重要程度乘积的总和的最
大值
可得dp[m][n]即是所求的解。
1.当当前输⼊入的物品价格⼤大于允许的最⼤大总价j元，则不不买，dp[i][j] = dp[i-1][j];
2.当当前输⼊入的物品体积⼩小于等于允许的最⼤大总价j元，考虑买或者不不买两种状态，取物品的价格与重
要程度乘积的总和最⼤大的那个：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v]+vp）;
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[25][30000];
int main(){
memset(dp,0,sizeof(dp));
int N,m;
cin>>N>>m;
int v,p;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>v>>p;
for(int j=1;j<=N;j++)
{
if(j>=v)
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v]+v*p);
else
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
cout<<dp[m][N];
return 0;
}
ALGO-34. 纪念品分组（贪⼼心算法+排序）
问题描述
元旦快到了了，校学⽣生会让乐乐负责新年年晚会的纪念品发放⼯工作。为使得参加晚会的同学所获得的
纪念品价值 相对均衡，他要把购来的纪念品根据价格进⾏行行分组，但每组最多只能包括两件纪念品，并
且每组纪念品的价格之和不不能超过⼀一个给定的整数。为了了保证在尽量量短的时 间内发完所有纪念品，乐
乐希望分组的数⽬目最少。
你的任务是写⼀一个程序，找出所有分组⽅方案中分组数最少的⼀一种，输出最少的分组数⽬目。
输⼊入格式
输⼊入包含n+2⾏行行：
第1⾏行行包括⼀一个整数w，为每组纪念品价格之和的上限。
第2⾏行行为⼀一个整数n，表示购来的纪念品的总件数。
第3~n+2⾏行行每⾏行行包含⼀一个正整数pi (5 <= pi <= w)，表示所对应纪念品的价格。
输出格式
输出仅⼀一⾏行行，包含⼀一个整数，即最少的分组数⽬目。
样例例输⼊入
100
9
90
20
20
30
50
60
70
80
90
样例例输出
6
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
int w,n;
cin>>w>>n;
int s[n];
int count=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>s[i];
}
sort(s,s+n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(s[i]>4)
for(int j=0;j<=n;j++)
if(s[n-j]>4&&(s[i]+s[n-j]<=w))
{
count++;
s[i]=s[n-j]=1;
break;
}
}
for(int i=0;i<n;i++)
if(s[i]>=5)
count++;
cout<<count;
return 0;
}
我的方法太麻烦，要经历多次遍历
这种方法就简单多了：
首先排好顺序，i和j两两组合，若能组合的就成为一组，若i和j不能组合在一起，i-1和j更不能组合在一起,所以j只能自己成为一组了（这样可以避免后序在经历一次遍历），这时只需要看i能不能和j-1有一次遍历
循环的条件是i<=j，假设i和j相邻，便尝试一下两两能不能组合；如果不不满⾜足把它们放⼊⼀一组，那么j放⼊⼀组后j移动指针，使i == j，继续进⼊入循环；
当i == j的时候，因为这个单独的物品已经没有可以组合的物品剩余了，所以此时还要进⼊循环进行一
次 count++ 的计数操作~
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
int main() {
int w, n;
scanf("%d %d", &w, &n);
int *a = new int[n];
for(int i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
sort(a, a+n);
int i = 0, j = n-1, cnt = 0;
while(i <= j) {
if(a[i] + a[j] <= w) {
i++;
}
cnt++;
j--;
}
cout << cnt;
return 0;
}
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