滑动窗口最大值问题如何在高频金融交易系统中实现毫秒级响应？在数据流处理系统中，如何实现滑动窗口最大值的实时计算？-优快云博客

在计算机科学中，算法能够在海量数据中找到秩序，提取规律。在我们处理实际问题的过程中，往往会遇到各种看似简单却充满挑战的场景，例如如何在一个不断变化的数据流中快速找到某个区间的最大值。这个问题不仅常见于基础编程练习，也广泛出现于实际应用，如股票价格分析、系统性能监控、网络数据流处理等。

接下来，我们要深入探讨的就是这样一个看似平凡却蕴含深刻思想的问题——滑动窗口最大值。这是一个经典的“滑动窗口”问题，它不仅考察我们对数据结构的掌握程度，更考验我们对时间复杂度、空间复杂度的权衡能力。

1 滑动窗口最大值问题描述

问题描述如下：

给定一个整数数组 nums 和一个整数 k，表示滑动窗口的大小。滑动窗口从数组最左侧开始，每次向右滑动一位，直到滑动到最右侧。每次滑动时，我们都要找到当前窗口中的最大值。

例如输入：

nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7], k = 3

输出应为：

[3,3,5,5,6,7]

1.1 输入输出要求

输入：
- 一个长度为 n 的整数数组 nums
- 一个正整数 k，表示窗口大小
输出：
- 一个长度为 n - k + 1 的数组，表示每个滑动窗口内的最大值

1.2 问题的本质

本质上，这是一个在动态变化的子数组中寻找局部最大值的问题。随着窗口从左到右滑动，我们需要在每次滑动后快速获取当前窗口中的最大值。这一“快速”的诉求，意味着我们需要在常数时间或对数时间内完成最大值的更新，而不能每次都从头扫描窗口。

2 朴素算法与其局限性

2.1 暴力解法

最直观的方法是：每次滑动窗口后，遍历窗口中的所有元素，找出最大值。

def maxSlidingWindow(nums, k):
    n = len(nums)
    res = []
    for i in range(n - k + 1):
        res.append(max(nums[i:i + k]))
    return res

2.2 时间复杂度分析

每次求最大值的操作需要 O(k) 时间
总共要进行 n - k + 1 次
所以总时间复杂度为 O(k * (n - k + 1))，最坏为 O(nk)

2.3 局限性分析

该方法虽然简单易懂，但效率极低，尤其在 n 达到 10^5 时，会严重超时。这种方法对于大规模数据处理是完全不可接受的。

3 高效解法：单调队列的妙用

3.1 单调队列的定义

单调队列是一种特殊的数据结构，它维护一个单调递减或单调递增的队列。对于滑动窗口最大值问题，我们使用的是单调递减队列，也就是说：

队列中的元素（或其索引）是从大到小排列的
队首永远是当前窗口的最大值对应的索引

3.2 算法思想

我们使用一个双端队列 deque 来维护窗口中的最大值索引，具体策略如下：

每次滑动窗口时，新加进来的元素，需要从队尾开始移除所有比它小的元素的索引
这样保证了队列中元素始终从大到小排列
如果队首的索引已经不在当前窗口中（即过期），则将其弹出
当前队首即为当前窗口的最大值

3.3 Python 实现

from collections import deque

def maxSlidingWindow(nums, k):
    n = len(nums)
    q = deque()
    res = []

    for i in range(n):
        # 1. 移除队尾所有比当前元素小的索引
        while q and nums[q[-1]] < nums[i]:
            q.pop()

        # 2. 加入当前元素索引
        q.append(i)

        # 3. 移除队首过期的索引
        if q[0] <= i - k:
            q.popleft()

        # 4. 记录结果（从第 k-1 个元素开始）
        if i >= k - 1:
            res.append(nums[q[0]])
    
    return res