A Simple Math Problem HDU - 5974(思维+数论)

A Simple Math Problem HDU - 5974

Given two positive integers a and b,find suitable X and Y to meet the conditions:
                                                        X+Y=a
                                              Least Common Multiple (X, Y) =b

Input
Input includes multiple sets of test data.Each test data occupies one line,including two positive integers a(1≤a≤2*10^4),b(1≤b≤10^9),and their meanings are shown in the description.Contains most of the 12W test cases.
Output
For each set of input data,output a line of two integers,representing X, Y.If you cannot find such X and Y,output one line of “No Solution”(without quotation).
Sample Input

6 8
798 10780

Sample Output

No Solution
308 490
题意:

要我们求解xy使得
x+y=ax+y=a
lcm(x,y)=blcm(x,y)=b
如果能找到一组解输出x y,否则输出“No Solution”

分析:

首先我们对二式变一下型

lcm(x,y)=blcm(x,y)=b

xygcd(x,y)=bx⋅ygcd(x,y)=b

xy=bgcd(x,y)x⋅y=b⋅gcd(x,y)
x+y=ax+y=a

x(ax)=bgcd(x,y)x⋅(a−x)=b⋅gcd(x,y)

x2ax+bgcd(x,y)=0x2−ax+b⋅gcd(x,y)=0

所以题目转化成了求解这个二次方程,看似一元二次方程
但是其中还有一个大问题就是gcdxygcd(x,y)怎么求?或者说我们可以怎么表示gcdxygcd(x,y)

下面我们对x,yx,y进行分析:

g=gcd(x,y)g=gcd(x,y)

则:

x=k1gx=k1⋅g

y=k2gy=k2⋅g

因为g是x,y的最大公因数那么k1,k2k1,k2一定是互质的数

我们代回最初的方程组中得到

{k1g+k2g=ak1gk2g=b(67)(67){k1⋅g+k2⋅g=ak1⋅g⋅k2⋅g=b

                                                                                                                    ↓

{k1+k2=agk1k2=bg(121)(121){k1+k2=agk1⋅k2=bg

因为k1,k2k1,k2是互质的,那么k1+k2,k1k2k1+k2,k1⋅k2是互质的


下面给出该结论的证明:

pqp,q是互质的两个整数

M=p+qN=pqM=p+q,N=pq

假设M,N不是互质的

那么必有M=aNM=aNN=aMN=aM a为整数

我们以M=aNM=aN为例,则原式等于 p+q=apqp+q=apq

p=q(ap1)p=q(ap−1)

pq=ap1pq=ap−1

因为p,q互质所以pqpq一定不会得到整数

但是a是整数,p是整数,则ap-1是整数

所以等式两边相矛盾故:

若p,q是互质的,那么p+q和pq也是互质的


{k1+k2=agk1k2=bg(171)(171){k1+k2=agk1⋅k2=bg

那么有了这个结论说明agagbgbg是互质的,那么g就是a,b的最大公因数

也就是gcd(a,b)=gcd(x,y)gcd(a,b)=gcd(x,y)

所以该题目转变成

求解一元二次方程 x2ax+bgcd(a,b)=0x2−ax+b⋅gcd(a,b)=0

code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}
int a,b;
int main(){
    while(scanf("%d%d",&a,&b) != EOF){
        int diat = a * a - 4 * b * gcd(a,b);
        if(diat < 0){
            printf("No Solution\n");
        }
        else{
            int p = (int)sqrt(1.0*diat);
            if(p * p != diat){
                printf("No Solution\n");
            }
            else{
                int x1 = (a + p) / 2;
                int x2 = (a - p) / 2;
                int x = min(x1,x2);
                printf("%d %d\n",x,a-x);
            }
        }
    }
    return 0;
}
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