A Simple Math Problem HDU - 5974
Given two positive integers a and b,find suitable X and Y to meet the conditions:
X+Y=a
Least Common Multiple (X, Y) =b
Input
Input includes multiple sets of test data.Each test data occupies one line,including two positive integers a(1≤a≤2*10^4),b(1≤b≤10^9),and their meanings are shown in the description.Contains most of the 12W test cases.
Output
For each set of input data,output a line of two integers,representing X, Y.If you cannot find such X and Y,output one line of “No Solution”(without quotation).
Sample Input
6 8
798 10780
Sample Output
No Solution
308 490
题意:
要我们求解xy使得
x+y=ax+y=a
lcm(x,y)=blcm(x,y)=b
如果能找到一组解输出x y,否则输出“No Solution”
分析:
首先我们对二式变一下型
lcm(x,y)=blcm(x,y)=b
↓↓
x⋅ygcd(x,y)=bx⋅ygcd(x,y)=b
↓↓
x⋅y=b⋅gcd(x,y)x⋅y=b⋅gcd(x,y)
x+y=ax+y=a
↓↓
x⋅(a−x)=b⋅gcd(x,y)x⋅(a−x)=b⋅gcd(x,y)
↓↓
x2−ax+b⋅gcd(x,y)=0x2−ax+b⋅gcd(x,y)=0
所以题目转化成了求解这个二次方程,看似一元二次方程
但是其中还有一个大问题就是gcd(x,y)gcd(x,y)怎么求?或者说我们可以怎么表示gcd(x,y)gcd(x,y)
下面我们对x,yx,y进行分析:
设g=gcd(x,y)g=gcd(x,y)
则:
x=k1⋅gx=k1⋅g
y=k2⋅gy=k2⋅g
因为g是x,y的最大公因数那么k1,k2k1,k2一定是互质的数
我们代回最初的方程组中得到
↓ ↓
因为k1,k2k1,k2是互质的,那么k1+k2,k1⋅k2k1+k2,k1⋅k2是互质的
下面给出该结论的证明:
p,qp,q是互质的两个整数
M=p+q,N=pqM=p+q,N=pq
假设M,N不是互质的
那么必有M=aNM=aN 或 N=aMN=aM a为整数
我们以M=aNM=aN为例,则原式等于 p+q=apqp+q=apq
p=q(ap−1)p=q(ap−1)
pq=ap−1pq=ap−1
因为p,q互质所以pqpq一定不会得到整数
但是a是整数,p是整数,则ap-1是整数
所以等式两边相矛盾故:
若p,q是互质的,那么p+q和pq也是互质的
那么有了这个结论说明agag和bgbg是互质的,那么g就是a,b的最大公因数
也就是gcd(a,b)=gcd(x,y)gcd(a,b)=gcd(x,y)
所以该题目转变成
求解一元二次方程 x2−ax+b⋅gcd(a,b)=0x2−ax+b⋅gcd(a,b)=0
code:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
return b ? gcd(b,a%b) : a;
}
int a,b;
int main(){
while(scanf("%d%d",&a,&b) != EOF){
int diat = a * a - 4 * b * gcd(a,b);
if(diat < 0){
printf("No Solution\n");
}
else{
int p = (int)sqrt(1.0*diat);
if(p * p != diat){
printf("No Solution\n");
}
else{
int x1 = (a + p) / 2;
int x2 = (a - p) / 2;
int x = min(x1,x2);
printf("%d %d\n",x,a-x);
}
}
}
return 0;
}