欧拉函数模板

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本文介绍了欧拉函数的基本性质及推导过程，并给出了两种不同的实现方法：一种是基于素数筛选的欧拉函数表构建，另一种是针对单个数值的直接计算。

欧拉函数模板

关于欧拉函数，我们首先介绍他到两条性质，这两条性质对于下面到推到至关重要
(a)如果p是素数且k $\ge$ 1，则 $\phi (p^k) = p^k - p^{k-1}$
(b)如果 $gcd(m,n) = 1$ ，则 $\phi (mn) = \phi (m)\phi(n)$

下面推到欧拉函数公式
根据算数基本定理，每个数字都可分解成素数到乘积形式
设 $x = p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_r^{k_r}$
$\phi(x) = \phi(p_1^{k_1})\phi(p_2^{k_2})...\phi(p_r^{k_r})$ ——性质(a)
$= (p_1^{k_1} - p_1^{k_1-1}) \cdot (p_2^{k_2} - p_2^{k_2-1})...(p_r^{k_r} - p_r^{k_r-1})$ ——–性质（b）
$= p_1^{k1}p_2^{k_2}...p_r^{k_r}\cdot(1-\frac{1}{p_1})...(1-\frac{1}{p_r})$
$= x \cdot(\frac{p_1-1}{p_1})\cdot(\frac{p_2-1}{p_2})...(\frac{p_r-1}{p_r})$

得到了公式，代码怎么写？
其实我们到代码是基于素数筛选，写法很类似
相信大家看了上面的推导代码会好理解些
code：

//筛选法打欧拉函数表     
#define Max 1000001    
int euler[Max];    
void Init(){     
     euler[1]=1;    
     for(int i=2;i<Max;i++)    
       euler[i]=i;    
     for(int i=2;i<Max;i++)    
        if(euler[i]==i)    
           for(int j=i;j<Max;j+=i)    
              euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出     
}

还有一种直接求的方式

//直接求解欧拉函数    
int euler(int n){ //返回euler(n)     
     int res=n,a=n;    
     for(int i=2;i*i<=a;i++){    
         if(a%i==0){    
             res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出     
             while(a%i==0) a/=i;    
         }    
     }    
     if(a>1) res=res/a*(a-1);    
     return res;    
}