矩阵翻硬币 (BigInteger+大数开方)

 历届试题 矩阵翻硬币  

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问题描述

　　小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。

　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

输入格式

　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。

输出格式

　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

样例输入

2 3

样例输出

1

数据规模和约定

　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；
　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；
　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；
　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

code:

题目解析：　　

　　1、从题目得知，如果一个硬币被翻转了奇数次后为正面朝上，那么它原始的状态一定是反面朝上。因此，我们需要统计所有翻转了奇数次硬币的个数。

　　2、题目中的 “ 对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转 ”。我们可以试着逆向思索，对于一个横坐标为X的硬币而言，我们翻转哪些硬币会影响到它而使它翻转呢？由此我们可以得出，当翻转的硬币的横坐标为X的约数时，会影响到它的翻转。比如，X=9，那么翻转横坐标为 1、3、9的时候会影响到它的翻转。纵坐标情况同理。

　　 　对于一个硬币，我们必须考虑到它的横坐标和纵坐标。假如，此硬币的横坐标翻转了5次，纵坐标翻转了6次，那么它总的翻转次数为 5 * 6 = 30 次。因此我们得到一个公式：总翻转次数 (count) = 横坐标翻转次数 (count_x) * 纵坐标翻转次数 (count_y)。我们一开始就指出，我们需要找到翻转了奇数次的硬币，因此，横坐标翻转次数和纵坐标翻转次数均为奇数时，总翻转次数才为奇数次。

　　3、接下来我们需要考虑，哪些数有奇数个约数呢？答案是完全平方数。它为 1,4,9,16,25,36...... 即n的2次方，n为从1开始的正整数。

　　　 从题目中得知，此时是一个 n * m 的矩阵，行号和列号都是从1开始。因此我们需要解决 1 到 n 之间完全平方数个数的问题。方法是求出sqrt(n)，然后对它取整，即 1 - n 之间总共有 (int)(sqrt(n)) 个完全平方数。因此，反面朝上硬币的个数为横纵坐标完全平方数个数相乘，即 (int)((sqrt(n)) * (sqrt(m))) 。

大数开方二分法逼近

import java.math.*;
import java.util.Scanner;
public class Main {
   static BigInteger cal(BigInteger x){
	   BigInteger l = BigInteger.ONE;
	   BigInteger r = x;
	   BigInteger mid = BigInteger.ZERO;
	   while(r.compareTo(l) == 1 || r.compareTo(l) == 0){
		   mid = l.add(r).divide(BigInteger.valueOf(2));   
		   if(mid.multiply(mid).compareTo(x) == 1)
			   r = mid.subtract(BigInteger.ONE);
		   else
			   l = mid.add(BigInteger.ONE);
	   }
	   if(r.multiply(r).compareTo(x) == 1)
		   r.subtract(BigInteger.ONE);
	   return r;
   }
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
        BigInteger n;
        BigInteger m;
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        n = scanner.nextBigInteger();
        m = scanner.nextBigInteger();
        BigInteger x = cal(n);
        BigInteger y = cal(m);
        System.out.println(x.multiply(y));
	}

}