拓扑排序（Topological Sort）

0）拓扑排序

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拓扑排序是对有向无圈图的顶点的一种排序，这个排序的结果是如果存在一条vi到vj的路径，那么排序中vi在vj的前面。

下图是一个有向无圈图的例子：

在这个有向无圈图中，1,6,5,7,4,2,3；1,6,5,7,2,4,3；这两组都是拓扑排序，我们可以看到这两种排序都满足拓扑排序的要求，比如说1-4的路径，可知1,7,4；1,6,5,4；1,6,7,4；1,6,5,7,4；这些路径的点都按照拓扑排序的要求排列。

1） 简单的拓扑排序算法

下面我们介绍一个简单的拓扑排序算法：

a）先找到一个没有输入边的点，输出这个点，然后去掉与这个点连接的所有边。

b）重复上面的步骤知道输出所有的点。

这里为了编程方便，我们要先定义一个叫做indegree的概念:

indegree: 顶点v包含的边（u，v）的个数。

注意是有向图的v包含的边（u，v）的个数。因此对于上图的点1，它的indegree=0，因为进入点1的边为0，点1的三条边全是指向外的。

所以通过引入indegree概念，上面的简单算法就可以用下面的方式表示

a） 查找indegree为0的点p

b） 对所有与p邻接的点的indegree = indegree -1；

c） 查找indegree为0的点（p除外），然后循环过程

下面是简单的拓扑排序算法的一段伪代码

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1. void TopSort(Graph G)  
2. {  
3.     int Num;  
4.     Vertex V,W;  
5.     for(Num=0;Num<NumVertex;Num++)  
6.     {  
7.         V = FindNewVertexOfDegreeZero();  
8.         if(V==NotVertex)  
9.         {  
10.             Error("Graph has a cycle!");  
11.             break;  
12.         }  
13.         Output[V] = Num;  
14.         for each W adjacent to V  
15.             Indegree[W]--;  
16.     }  
17. }  

2）  拓扑排序的改进算法
上面的简单算法还是很简单的，也很好理解，那么为什么要改进上面的算法呢？这个主要是因为上面算法的时间复杂度为O(|V|^2)。

首先FindNewVertexOfDegreeZero()函数因为要找到indegree=0的点，所以需要遍历所有的点，因此时间复杂度为O(|V|)。而这个函数需要重复|V|次，因此上面的算法的时间复杂度为O(|V|^2)。因此我们需要做一些改进，来降低运行时间。

可以看到，这里可能能够进行改进的就是FindNewVertexOfDegreeZero()函数。当我们删除一个indegree=0的点后，只有与这个邻接的点的indegree才会减一，其他的点的indegree值不变，因此当我们需要在一次FindNewVertexOfDegreeZero时，不需要遍历所有的点，只需要遍历部分相关连的点就可以。

为了实现上面的思想，我们把indegree=0的点放到一个box中，因此FindNewVertexOfDegreeZero()函数只需要在这个box中寻找就好了。当一个点的indegree=0时，我们就把这个点输入到box中。

算法：

a） 把ndegree=0的点A放到一个Queue中；

b） 把点A出队，然后对所有的与A邻接的点的indegree减一；

c） 把新的ndegree=0的点入队；

d） 重复上面的步骤

伪代码实现：

[cpp] view plain copy

1. void TopSort(Graph G)  
2. {  
3.     Queue Q;  
4.     int Num=0;  
5.     Vertex V,W;  
6.     Q = CreateQueue(NumVertex);  
7.     MakeEmpty(Q);  
8.     while(!IsEmpty(Q))  
9.     {  
10.         V = Dequeue(Q);  
11.         TopNum[V] = ++Num;  
12.         for each W adjacent to V  
13.             if(--Indegree[W]==0)  
14.                 Enqueue(W,Q);  
15.     }  
16.     if(Num!=NumVertex)  
17.         Error("Graph has a cycle!");  
18.     Free(Q);  
19. }  

这个方法相当于是以空间换时间，引入了一个Queue。