扩展欧几里得

gcd函数的基本性质：

gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然

存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

求解 x，y的方法的理解

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，a>b>0 时

设 ax 1+ by 1= gcd(a,b);

bx 2+ (a mod b)y 2= gcd(b,a mod b);

根据朴素的 欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax 1+ by 1= bx 2+ (a mod b)y 2;

即:ax 1+ by 1= bx 2+ (a - [a / b] * b)y 2=ay 2+ bx 2- [a / b] * by 2;

也就是ax 1+ by1 == ay 2+ b(x 2- [a / b] *y 2);

根据恒等定理得：x 1=y 2; y 1=x 2- [a / b] *y 2;

这样我们就得到了求解 x 1,y 1 的方法：x 1，y 1 的值基于 x 2，y 2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得ax+by = Gcd(a, b) =d(解一定存在，根据 数论中的相关定理)。扩展 欧几里德常用在求解模 线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return r;
}

/**节选至百度百科**/