数值PDE求解器超越神经PDE求解器的可解释框架

数值PDE求解器超越神经PDE求解器

摘要

提出DeepFDM，一种可微分有限差分框架，用于学习时空依赖偏微分方程（PDE）中的空间变化系数。通过将经典前向欧拉离散化嵌入卷积架构中，DeepFDM通过符合CFL条件的系数参数化强制执行稳定性和一阶收敛性。模型权重直接对应于PDE系数，产生可解释的反问题公式。

评估方法

在标量PDE基准测试套件上评估DeepFDM：

• 方程类型：平流、扩散、平流-扩散、反应-扩散和非均匀Burgers方程
• 空间维度：一维、二维和三维

性能结果

在分布内和分布外测试（通过系数先验之间的Hellinger距离量化）中，DeepFDM实现：

指标	提升幅度
归一化均方误差	比基准方法小1-2个数量级
训练周期数	减少10-20倍
参数数量	减少5-50倍

对比基准方法包括：傅里叶神经算子、U-Net和ResNet

额外优势

恢复的系数场与真实参数精确匹配。这些结果将DeepFDM确立为数据驱动的参数PDE求解和识别的稳健、高效和透明基线。

技术细节

• 篇幅：17页，含7张图表
• 学科分类：数值分析（数学.NA）；机器学习（cs.LG）
• MSC分类：35R30（主要），65M06，65M32，65C20，68T07（次要）

论文编号：arXiv:2507.21269 [math.NA]
提交日期：2025年7月28日
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