LeetCode-Maximum Subarray

最大子序列和问题

1. 题目描述

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.
Example given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

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2. 解题思路

一开始觉得和滑动窗口一个问题，但是想不到一个终止的条件，然后发现只要是前面序列和小于0，就设置sum=0。

1. 直接求解O（n）-动态规划

maxSubArray(A, i) = maxSubArray(A, i - 1) >0 ? maxSubArray(A, i - 1) : 0 + A[i];

遍历一次数组，sum+=A[i],如果sum大于result，更新result，如果sum小于0，更新sum为0.

2. 利用分治的方法O（nlogn）

对于一数字序列，其最大连续子序列和对应的子序列可能出现在三个地方。

• 整个出现在输入数据的前半部（左）
• 整个出现在输入数据的后半部（右）
• 跨越输入数据的中部从而占据左右两半部分。

前两种情况可以通过递归求解，第三种情况可以通过求出前半部分的最大和（包含前半部分的最后一个元素）以及后半部分的最大和（包含后半部分的第一个元素）而得到，然后将这两个和加在一起即可。
T(1) = 1
T(N) = 2T(N/2) + O(N)

3.代码

先贴一波分治的代码

public static int maxSubsequenceSum(int[] a, int left, int right) {
    if(left == right) { //Base case
        if(a[left] > 0) {
            return a[left];
        } else {
            return 0; //保证最小值为0
        }
    }

    int center = (left+right)/2;
    int maxLeftSum = maxSubsequenceSum(a, left, center); //递归调用，求左部分的最大和
    int maxRightSum = maxSubsequenceSum(a, center+1, right);//递归调用，求右部分的最大和

    int leftBorderSum = 0, maxLeftBorderSum = 0;//定义左边界子序列的和
    for(int i=center; i>=left; i--) {//求左边界的最大和（从右边开始往左求和）
        leftBorderSum += a[i];
        if(leftBorderSum > maxLeftBorderSum) {
            maxLeftBorderSum = leftBorderSum;
        }
    }

    int rightBorderSum = 0, maxRightBorderSum = 0;//定义右边界子序列的和
    for(int i=center+1; i<=right; i++) {//求右边界的最大和（从左边开始往右求和）
        rightBorderSum += a[i];
        if(rightBorderSum > maxRightBorderSum) {
            maxRightBorderSum = rightBorderSum;
        }
    }

    //选出这三者中的最大值并返回（max3(int a, int b, int c)的实现没有给出）
    return max3(maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum);
}

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接下来就是动态规划的代码了

class Solution{
    public:
     int maxSubArray(vector<int>& nums) {
         int largest_num= nums.at(0);
         int sum=0;
         for(int i=0; i < nums.size(); i++) {
            sum+=nums.at(i);
            if(sum> largest_num) {
                largest_num=sum;
            } 
             if(sum < 0) 
              sum= 0;
         }
         return largest_num;
    }
};

表达比较明确，但是还不够短，discussion里面说到，可以把for循环里面的语句变成两条语句。
sum=max(sum+nums.at(i),A[i]);
largest_num=max(largest_num,sum);
感叹大佬的水平（膜）。