证明符号扩展位补0（补1）

最新推荐文章于 2024-09-10 07:35:47 发布

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本文详细阐述了二进制数在进行符号位扩展时的具体数学原理，包括正数补0和负数补1的过程，并通过数学公式推导了扩展前后数值等价性的证明。

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符号位扩展证明：
令I为k位正二进制数，m > k, $a_i$ 为 0或1.

令I为k位正二进制数，m > k, $a_i$ 为 0或1.
I= ${\sum^k_0{a_i2^i}}$
=0+ $\sum^k_0{a_i2^i}$
= $\sum_{k+1}^{m_0}2^i$ + $\sum^k_0{a_i2^i}$
可以看出，当 I为正数，只要在其左边补0直到达到要求的位数。
I为k位二进制负数；绝对值为L(原码)，扩展后为n位
L= $2^k-I$ = $2^k-\sum^k_0{a_i2^i}$ = $2^n-\sum^k_0a_i2^i -（2^n-2^k）$ = $2^n-(\sum^k_0a_i2^i +（2^n-2^k）)$
= $2^n-(\sum^k_0a_i2^i +\sum_k^{n-1}(1\cdot2^i)$
即是负数符号扩展位在I基础上左边补1直至位数为n。