Leetcode 3426. Manhattan Distances of All Arrangements of Pieces

• Leetcode 3426. Manhattan Distances of All Arrangements of Pieces
  • 1. 解题思路
  • 2. 代码实现

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1. 解题思路

这道题很惭愧，一开始没有搞定，后来看了答案想了想，发现就是一个单纯的数学题，而且是不太难的那种，唉，就很惭愧。

首先，考察每一个pair会被选到的次数，这个事实上就是$C_{nm-2}^{k-2}$，即事先将目标的两个位置占上，剩下的$k-2$个点能在图上摆放的所有情况就是其可以被选中的次数。且任意两个点组成的pair这个重复次数都是完全相同的。

然后，我们只需要考虑这个$n\times m$的矩阵当中所有位置对的曼哈顿距离之和即可。

然后，考虑到曼哈顿距离的定义，事实上我们又可以将横向和纵向分开考虑，我们只考虑任意两个点的横向距离差，显然这个值就是：

$$d=m^2\times \sum _{i=0}^{n-2}\sum _{j=i+1}^{n-1}(j-i)=m^2\times \sum _{i=0}^{n-2}\frac{(n-i)(n-i-1)}{2}$$

同理，纵向距离差之和即为：

$$d=n^2\times \sum _{i=0}^{m-2}\frac{(m-i)(m-i-1)}{2}$$

因此，总的答案就是：

$$D=C_{nm-2}^{k-2}\cdot (m^2\times \sum _{i=0}^{n-2}\frac{(n-i)(n-i-1)}{2}+n^2\times \sum _{i=0}^{m-2}\frac{(m-i)(m-i-1)}{2})$$

2. 代码实现

给出python代码实现如下：

MOD = 10**9+7

Factorials = [1 for _ in range(10**5+1)]
Revs = [1 for _ in range(10**5+1)]
for i in range(2, 10**5+1):
    Factorials[i] = (i * Factorials[i-1]) % MOD
    Revs[i] = pow(Factorials[i], -1, mod=MOD)

def C(n, m):
    return (Factorials[n] * Revs[n-m] * Revs[m]) % MOD if n >= m else 0

class Solution:
    def distanceSum(self, m: int, n: int, k: int) -> int:
        vertical = 0
        for i in range(n-1):
            vertical += (n-i) * (n-1-i) // 2
        vertical = (vertical * m * m) % MOD
        
        horizon = 0
        for i in range(m-1):
            horizon += (m-i) * (m-1-i) // 2
        horizon = (horizon * n * n) % MOD

        return C(n*m-2, k-2) * (vertical + horizon) % MOD

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