Leetcode 3116. Kth Smallest Amount With Single Denomination Combination

• Leetcode 3116. Kth Smallest Amount With Single Denomination Combination
  • 1. 解题思路
  • 2. 代码实现

• 题目链接：3116. Kth Smallest Amount With Single Denomination Combination

1. 解题思路

这一题思路上我一开始想的是直接法，但是没想到什么好的方法，因此就只能退而求其次，使用二分法来确定临界值，这个思路也算是比较直接的了。

于是，问题就变成了给定一个值，如何判断其前方一共有多少个可能组成的货币面值，这个问题事实上上也不那么直接，不过我们可以用容斥原理进行解答。

而要使用容斥原理的话，我们需要求出所有包含某一个元素的组合的最小公倍数，这个我们可以通过一个迭代算法来实现，由于25之内只有9个质数，因此总的计算量至多也就$2^9$，并非不可接受。

最后，考虑到元素较多的情况下容斥原理的计算量其实还是挺大的，因此我们可以实现对货币面值进行一下简化，将那些是其他面值的整倍数的面值直接移除掉即可。

综上，我们即可最终给出我们的解答。

2. 代码实现

给出python代码实现如下：

class Solution:
    def findKthSmallest(self, coins: List[int], k: int) -> int:
        if 1 in coins:
            return k
        
        def filter_coins(coins):
            coins = sorted(coins)
            fcoins = []
            for c in coins:
                if any(c % x == 0 for x in fcoins):
                    continue
                fcoins.append(c)
            return coins
        
        coins = filter_coins(coins)
        n = len(coins)
        lcms = defaultdict(list)
        
        def dfs(idx, used, _lcm):
            nonlocal lcms
            if idx >= n:
                return
            dfs(idx+1, used, _lcm)
            _lcm = lcm(_lcm, coins[idx])
            lcms[used+1].append(_lcm)
            dfs(idx+1, used+1, _lcm)
            return
        
        dfs(0, 0, 1)
        
        def count(x):
            ans = 0
            flag = 1
            for i in range(1, n+1):
                for v in lcms[i]:
                    ans += flag * (x // v)
                flag = -flag
            return ans
        
        l, r = 0, coins[-1] * k + 1
        while r-l > 1:
            m = (l+r) // 2
            if count(m) >= k:
                r = m
            else:
                l = m
        return r

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