初学DP（1） 黑书中的《括号序列》

题目：括号序列

定义如下规则序列（字符串）：

1.空序列是规则序列；

2.如果S是规则序列，那么(S)和[S]也是规则序列；

3.如果A和B都是规则序列，那么AB也是规则序列；

例如，下面的字符串都是规则序列：

(),    [],    (()),    ([]),    ()[()];

而这几个就不是规则序列：

(,    [,    )(,    ([];

现在给出一些有'(',')','[',']'构成的序列，请添加少量的括号，得到一个规则的序列。

分析：

用s[i],s[j]表示字符串S的第i个字符和第j个字符,i<j，用ans[i][j]表示从第i个字符到第j个字符最少需要添加的括号数；

如果s[i]='(',s[j]=')'或 s[i]='[',s[j]=']'，那么ans[i][j]=min(ans[i+1][j-1],ans[i][j])；

如果s[i]='(',s[j]！=')'或s[i]='[',s[j]！=']'，那么ans[i][j]=min(ans[i+1][j]+1,ans[i][j])；

如果s[i]！='(',s[j]=')'或s[i]！='[',s[j]=']'，那么ans[i][j]=min(ans[i][j-1]+1,ans[i][j]);  

根据这个我们有如下递推关系：

int  bracket(int  i,int  j){
        if (i>j)    return 0;
        else if (i==j)    return 1;
        int answer = inf;
        if ((s[i]=='('&&s[j]==')')||(s[i]=='['&&s[j]==']'))        answer =  min(answer,bracket(i+1,j-1));
        else if (s[i]=='(' || s[i]=='[')    answer = min(answer,bracket(i+1,j)+1);
        else if (s[j]==')' || s[j]==']')    answer = min(answer,bracket(i,j-1)+1);
        for (int k=i;k<j;k++)    answer = min(answer,bracket(i,k)+bracket(k+1,j));
        return answer;
}

我们发现上面的递归重复计算了好多，下面对于  bracket[0,3]进行说明

我们发现 bracket[0,1]以及bracket[2,3]有重复操作， 因此如果我们递归求 bracket[0,len-1]中len超过100的话， 重复操作非常大，很浪费时间；为此我们可以采取先计算出最低 层的 bracket，对于更高的bracket可以直接使 用较低的 bracket，这就是自底向下的递推；

参考代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
#define MAX 0xffffff
int main(){
 int dp[105][105];
 char s[105];
 while (cin>>s){
     int n=strlen(s);
     for (int i=0;i<n;i++){
         dp[i][i-1]=0;
         dp[i][i]=1; 
     }
     for (int k=1;k<n;k++){	//表示i跟j之间的距离
          for (int i=0;i<n-k;i++){
              int j=i+k;
              dp[i][j]=MAX;
              if ((s[i]=='('&&s[j]==')')||(s[i]=='['&&s[j]==']')){
                  dp[i][j]=dp[i+1][j-1];
              }
              for (int p=i;p<j;p++){
                  if (dp[i][j]>dp[i][p]+dp[p+1][j]){
                      dp[i][j]=dp[i][p]+dp[p+1][j];
                  }
             }
         }
      }
      cout<<dp[0][n-1]<<endl;
 }
 return 0;
}

poj 1141     http://poj.org/problem?id=1141

题目意思和上面一样，只是题目要你求出这个规则序列，为此我们只需要记录需要插入的位置，当我们需要输出时，采用递推的方式，对于从s[i]到s[j]的序列,如果pos[i][j]=-1则说明s[i]和s[j]括号匹配，我们可以先输出s[i],再继续考虑s[i+1]到s[j-1]的序列，最后输出s[j]，如果pos[i][j]不等于-1则说明s[i]和s[j]不匹配，我们就需要对s[i]进行匹配，输出匹配后，我们再继续考虑s[i+1]到s[j]的序列；

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
#define inf 0xffffff
int dp[105][105];
int pos[105][105];
char s[105];
void show(int i,int j){
	if (i>j)	
		return;
	if (i==j){
		if(s[i]=='('||s[i]==')') 
			cout<<"()";
  		else	
  			cout<<"[]";
  	}
  	else{
  		if (pos[i][j]==-1){
  			cout<<s[i];
  			show(i+1,j-1);
  			cout<<s[j];
  		}
  		else{
  			show(i,pos[i][j]);
  			show(pos[i][j]+1,j);
  		}
  	}
}

int main(){		
	cin>>s;
	int n=strlen(s);
	for (int i=0;i<n;i++){
		dp[i][i-1]=0;
		dp[i][i]=1;
	}
	for (int k=1;k<n;k++){	//表示i跟j之间的距离
		for (int i=0;i<n-k;i++){
			int j=i+k;
			dp[i][j]=inf;
			if ((s[i]=='('&&s[j]==')')||(s[i]=='['&&s[j]==']')){
				pos[i][j]=-1;
				dp[i][j]=dp[i+1][j-1];
			}
			for (int p=i;p<j;p++){
				if (dp[i][j]>dp[i][p]+dp[p+1][j]){
					pos[i][j]=p;
					dp[i][j]=dp[i][p]+dp[p+1][j];
				}
			}
		}
	}
	show(0,n-1);
	cout<<endl;
	return 0;
}

注意：在poj上提交时如果用while(cin>>s)这个循环输入的话会使提交结果为WA，我也不知道为什么。。。