迷宫中回溯法的剪枝——奇偶剪枝

问题描述

在一个n行m列的迷宫中,每一步只能向上、下、左、右中任意方向走一格，迷宫中有围墙的地方是无法到达的。从起点s开始，能否刚好走t步，到达e。

例如在下面5行5列的迷宫中，能否恰好经过9步，从s走到e。初始位置在s上，#是围墙。

奇偶剪枝

设起点s的坐标为(sx,sy)，终点e的坐标为(ex,ey)；

对s的一次操作为对sx或sy进行+1或-1；

若经过t次操作后，s的坐标刚好等于e，则说从s经过t步可以到达e。

在理想情况下，s到e需要的最小步数为m

m=|ex-sx|+|ey-sy|

若t<m，肯定是无法到达的。

当t>=m时，从s到e的行走路径由两部分组成，

一部分为需要走的最少步数m；

另一部分是为了使得刚好行走t步到达e，所需要走的附加步数a，a=t-m；

这a步即为：从需要走m步的最短路径上走出去，再回到最短路径上所走的步数。

假设走出去这段路径长度为b，那回来时的路径长度一定也是b，因此，附加步数的路径长度a等于2b步。

因为走出去时，对坐标进行了b次+1或-1的操作，为使坐标再恢复到最短路径上，就需要进行b次-1或+1的操作，并且与走出去时是相反的。注意：走出去和拐回来的过程中可能参杂着最短路径上的操作，所以b是除去这些参杂操作后的步数。

如下图所示:

从s到e的黑色路径为一条最短路径，红色和蓝色路线组成的路径，为走出最短路径的路径。其中蓝色箭头是参杂着的最短路径中的操作，只有红色箭头才是走出去和拐回来的路径，如果将红色路径去掉，从s向右走，经过绿色箭头到达e，这也是一条最短路径。

因为a=2b，是个偶数，又因为a=t-m，所以当t和m的奇偶性相同时，a才能是偶数。也就是说，当t和m的奇偶性相同时，才有可能从s经过t步，到达e。

所以，当最小步数m与t同为奇数，或同为偶数时，才有可能从s经过t步，到达e。