FZU2147 A-B Game（贪心）

最新推荐文章于 2017-08-24 14:22:32 发布

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算法设计-贪心法

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本文介绍了一种利用贪心策略解决特定数值变换问题的方法。问题要求通过一系列操作使初始值A减小到不大于目标值B，每次操作为A=A-(A%x)。通过对A%x最大值特性的分析，找到了最优解对应的x值，进而得出快速求解的算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

输入A、B（B<A）。A每次可以进行一次变换：A = A - (A % x) ，其中1≤x≤A-1。问最少经过多少次变换，A的值小于等于B。

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分析

如果A%x的最大值与A成正比，那么这就是一道贪心题，每步都取让A%x值为最大的x即可。即每一步都让A减去尽可能大的值是这道题的解题思路。

现在分析A%x的性质，最优解x(让A减去的值最大)，其实就是比A的一半更大一点点的整数，即

${x^*} = \left\lfloor {\frac{A}{2}} \right\rfloor + 1$

（以下我的证明方法仅供参考，关键是读者自己想明白其中的道理。）

为什么呢？如下图中的彩色线段，我们把数A理解成长度为A的线段。比中点稍大的整数就是图中绿色的点，余数相当于绿点右边红色线段的长度，长度为 $A - {x^*}$ 。

如果取绿点右边的某个整数点y，则余数是点y至终点的线段长度，显然会比原来的短。

如果取绿点左边的某个整数点z。那么有两种情况：

一种是中点存在，如图中的黄点，此时A%z为0，必然不是最优解。
另一种情况是z为中点左边的某个点(图中的灰点)，则必然有 $z \le A \% {x^*}$ （想一想为什么），又 $A\% z < z$ ，所以 $A\% z < A \% {x^*}$ 。

再简单的分析，知公式中的 $x^*$ 实际就是变化后A的值，故代码很简单：

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;

int main() {
    int T;

    scanf("%d", &T);

    for (int kase = 1; kase <= T; kase++) {
        printf("Case %d: ", kase);

        LL a, b, cnt = 0;
        cin >> a >> b;

        while (a > b) {
            a = a/2 + 1;
            cnt++;
        }

        printf("%d\n", cnt);
    }
    return 0;
}