确定n个元素的任何排序中逆序对数量

本文介绍了一种基于归并排序算法修改而来的逆序数计算方法,并通过一个具体的例子进行了说明。该算法在归并过程中统计逆序对的数量。

《算法导论》第三版 P24,2-4思考题

list1 = [10,9,8,7,6,5,4,3,1,2];
count = len(list1);

def mergeSort(list0, i, j):
    inversionNum = 0
    if i < j:
        k = (int)((i + j) / 2)
        inversionNum = inversionNum + mergeSort(list0, i, k)
        inversionNum = inversionNum + mergeSort(list0, k + 1, j)
        inversionNum = inversionNum + merge(list0, i, k, j)
    return inversionNum

def merge(list0, i, k, j):
    n1 = k - i + 1
    n2 = j - k
    subList1 = []
    subList2 = []
    positiveSequenceNum = 0
    inversionNum = 0
    for a in range(0, n1):
        subList1.append(list0[i + a])
    for a in range(0, n2):
        subList2.append(list0[k + 1 + a])
    m1 = 0;
    m2 = 0;
    tmp1 = 0;
    tmp2 = 0;
    for a in range(i, j + 1):
        if m1 < n1:
            tmp1 = subList1[m1]
        if m2 < n2:
            tmp2 = subList2[m2]
        if tmp1 > tmp2 and m2 < n2:
            list0[a] = tmp2
            inversionNum = inversionNum + n1 - positiveSequenceNum
            m2 = m2 + 1
        else:
            if m1 < n1:
                list0[a] = tmp1
                positiveSequenceNum = positiveSequenceNum + 1
                m1 = m1 + 1
    return inversionNum

print(mergeSort(list1, 0, count - 1));
print(list1);

这个算法是在归并排序算法的基础上改的。比较关键的一点是要清楚什么情况下是逆序及产生了多少逆序。

作者:李印臣,2005年毕业于山东师范大学计算机系,曾三次患有精神分裂症。康复后,做了近四年的软件工程师,然后做了两年精神分裂症领域的公益,现重新回到软件行业,一切从头再开始!
愿这个博客见证我的成长与进步。

<think>嗯,用户现在想了解如何使用C++在归并排序中统计逆序对数量。之前我已经给出过Python的示例,现在需要转换为C++,并且用户引用了几个C++的代码片段。首先,我需要确认用户的需求是什么。他们可能已经了解归并排序的基本原理,但需要具体的C++实现方法,特别是如何在合并过程中统计逆序对。 首先,回顾一下归并排序的步骤:分治拆分、递归排序、合并有序子数组。统计逆序对的关键点在于合并阶段。当左子数组元素大于右子数组元素时,左子数组中该元素之后的所有元素都与右子数组的当前元素构成逆序对。例如,在合并时,如果left[i] > right[j],那么逆序对数量应该增加mid - i + 1,因为左子数组从i到mid的元素都比right[j]大。 接下来,我需要参考用户提供的引用内容。引用3中的C++代码展示了如何通过递归函数返回逆序对数量,并且在合并过程中累加res += mid - i + 1。这应该是正确的实现方式。此外,用户提供的引用4中的代码虽然可能有些不同,但基本思路一致,即在合并时统计逆序对数量。 需要注意的问题包括:数组的索引是否正确处理,递归终止条件是否正确,以及临时数组的使用是否正确。例如,在C++中,数组通常是从0开始索引,而引用4中的代码可能使用了从1开始的索引,这可能导致混淆。需要确保用户提供的示例代码中的索引处理是正确的,并在解释时指出这一点。 另外,用户可能关心时间复杂度和空间复杂度。归并排序的时间复杂度是O(n log n),空间复杂度是O(n),这在统计逆序对时同样适用,需要明确说明。 可能的疑问点包括:为什么在合并过程中统计逆序对是有效的?如何确保递归过程中逆序对的累加是正确的?需要解释清楚分治法的原理,即每个子数组逆序对在拆分时被分别计算,然后在合并时计算跨子数组逆序对,最后总和即为总逆序对数。 此外,用户提供的引用中提到冒泡排序效率低,而归并排序可以高效统计逆序对,因此在回答时需要强调归并排序的优势,以及为何在合并阶段能批量统计逆序对,而不是像冒泡排序那样逐个统计。 总结步骤: 1. 分治拆分数组,递归处理左右子数组。 2. 在合并过程中,当左子数组元素大于右子数组元素时,统计逆序对数量。 3. 将左右子数组逆序对数量加上合并时的数量,得到总和。 在代码实现中,需要注意递归函数的返回值,合并时临时数组的使用,以及索引的正确处理。例如,在引用3的代码中,使用LL类型来存储可能的大数,避免溢出,这也是需要注意的地方。 最后,用户可能需要一个完整的C++示例,包括输入输出处理,所以需要整合引用中的代码,并确保示例正确运行。同时,需要解释关键代码部分,如递归终止条件、合并循环中的逆序对统计,以及临时数组的拷贝过程。</think>### C++ 实现归并排序统计逆序对的方法 #### **核心原理** 在归并排序的合并阶段,通过比较左右子数组元素的关系,**批量统计跨子数组逆序对**。当左子数组元素 $left[i] > right[j]$ 时,左子数组中 $i$ 之后的所有元素均与 $right[j]$ 构成逆序对,直接累加 $mid - i + 1$ 个逆序对[^3]。 --- #### **完整代码实现** ```cpp #include <iostream> using namespace std; typedef long long LL; // 防止大数溢出 const int N = 1e5 + 10; int q[N], tmp[N]; LL merge_sort(int l, int r) { if (l >= r) return 0; int mid = l + r >> 1; LL res = merge_sort(l, mid) + merge_sort(mid + 1, r); // 递归统计左右子数组逆序对 int k = 0, i = l, j = mid + 1; while (i <= mid && j <= r) { if (q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++]; else { tmp[k++] = q[j++]; res += mid - i + 1; // 关键:统计逆序对数量[^3] } } // 处理剩余元素 while (i <= mid) tmp[k++] = q[i++]; while (j <= r) tmp[k++] = q[j++]; // 将临时数组拷贝回原数组 for (i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) q[i] = tmp[j]; return res; } int main() { int n; scanf("%d", &n); for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]); printf("%lld\n", merge_sort(0, n - 1)); return 0; } ``` --- #### **关键步骤解析** 1. **递归拆分** 将数组不断二分至单个元素,此时子数组内部逆序对数为 $0$。 2. **合并与统计** - 当 $q[i] > q[j]$ 时,左子数组中从 $i$ 到 $mid$ 的所有元素均与 $q[j]$ 构成逆序对,直接累加 $mid - i + 1$ 个逆序对[^3]。 - **示例**:合并 $[3,5]$ 和 $[1,2]$ 时,发现 $3 > 1$,则逆序对数增加 $2$(包含 $(3,1)$ 和 $(5,1)$)。 3. **复杂度分析** - **时间**:$O(n \log n)$,与归并排序一致。 - **空间**:$O(n)$,用于临时数组存储。 --- #### **测试案例** **输入** ``` 6 2 3 4 5 6 1 ``` **输出** ``` 5 ``` **解释** 逆序对为 $(2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)$。 --- #### **常见问题** 1. **为何用 `long long` 存储结果?** 逆序对数量最大可达 $\frac{n(n-1)}{2}$,当 $n=1e5$ 时,结果可能超过 `int` 范围[^3]。 2. **如何处理数组索引边界?** 需确保合并时左右子数组的索引范围不越界,例如 `mid = l + r >> 1` 等价于 $(l + r)/2$,但需注意整数溢出问题。 --- ### 相关问题 1. 如何优化归并排序的空间复杂度? 2. 归并排序和快速排序逆序对统计中的区别是什么? 3. 逆序对统计在股票交易策略中有哪些应用?
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