高斯消元求解方程组

1.解线性方程组：

首先是n*n的矩阵，最终变成一个上三角的形式。

唯一解：完美的三角形。

0=非0，无解。

许多0=0，无穷解。

具体过程：

1.枚举每一列，找到绝对值最大的一行

2.将该行换到最上面。

3.将该行第一个数变成1.

4.将下面的第一个数变成0.

5.迭代（n-1)*(n-1)的问题。

6.求解，最后一个数系数变成1，得到xn的解。

对于上一行，用xn把它xn-1列的xn消掉得到xn-1，依次类推。

下面是AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int n;
double a[N][N];
double eps=1e-6;
int gas()
{
    int c,r;
    for(c=0,r=0;c<n;c++)
    {
        int t=r;
        //找绝对值最大的行
        for(int i=r;i<n;i++){
            if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c])) t=i;
        }
        //若为0
        if(fabs(a[t][c])<eps) continue;//已经是0了没有必要继续
        for(int i=c;i<=n;i++) swap(a[t][i],a[r][i]);//交换
        for(int i=n;i>=c;i--) a[r][i]/=a[r][c];//系数变成1
        for(int i=r+1;i<n;i++)
        {
            if(fabs(a[i][c])>eps)
            {
                for(int j=n;j>=c;j--){
                    a[i][j]-=a[r][j]*a[i][c];
                }
            }
            
        }
        r++;
    }
    if(r<n)
    {
        for(int i=r;i<n;i++)
        {
            if(fabs(a[i][n])>eps) return 2;
            
        }
        return 1;
    }
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
        for(int j=i+1;j<n;j++)
        {
            a[i][n]-=a[i][j]*a[j][n];
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n+1;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    int t=gas();
    if(t==0)
    {   
        
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if (fabs(a[i][n]) < eps) a[i][n] = 0;
            printf("%.2lf\n",a[i][n]);}
    }
    else if(t==1) cout<<"endless";
    else cout<<"No Solution";
}

2.异或线性方程组

我们可以把异或看成不进位的加法：

由异或的交换与结合规则，我们考虑一下3种基本变换，首先系数0/1，于是不用乘倍数，显然交换两行的位置不影响，我们考虑下原本相减的情况，我们用异或那一行来替换，这样子就是对应原来减的操作了。

下面是AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int n;
int a[N][N];
int gas()
{
    int c,r;
    for(c=0,r=0;c<n;c++)
    {
        int t=r;
        //找绝对值最大的行
        for(int i=r;i<n;i++){
            if(a[i][c])
            {
                 t=i;
                 break;
            }
        }
        //若为0
        if(!a[t][c]) continue;//已经是0了没有必要继续
        for(int i=c;i<=n;i++) swap(a[t][i],a[r][i]);//交换

        for(int i=r+1;i<n;i++)
        {
            if(a[i][c])
            {
                for(int j=n;j>=c;j--){
                    a[i][j]^=a[r][j];
                }
            }
            
        }
        r++;
    }
    if(r<n)
    {
        for(int i=r;i<n;i++)
        {
            if(a[i][n]) return 2;
            
        }
        return 1;
    }
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
        for(int j=i+1;j<n;j++)
        {
            a[i][n]^=a[i][j]&a[j][n];
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n+1;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    int t=gas();
    if(t==0)
    {   
        
        for(int i=0;i<n;i++) cout<<a[i][n]<<endl;
 
    }
    else if(t==1) cout<<"Multiple sets of solutions";
    else cout<<"No solution";
}