LeetCode 357. Count Numbers with Unique Digits

357. Count Numbers with Unique Digits

Given a non-negative integer n, count all numbers with unique digits, x, where $0 ≤ x < 10^n$.

Example:
Given n = 2, return 91. (The answer should be the total numbers in the range of 0 ≤ x < 100, excluding [11,22,33,44,55,66,77,88,99])

题目内容：
题目一个非负整数n，让我们算出$[0, 10^n)$之间每一位数字都不相同的整数个数。

解题思路：
因为对于一个$n (n\geq 2)$,我们可以通过分别计算$[0, 10^{n-1})$和$[10^{n-1}, 10^n)$的之间每一位数字都不相同的整数个数，然后相加获得。如果令$result[n]$是题目要求的结果，那么其实也也算是一个动态规划的问题，因为$result[n]$可以通过$result[n-1]$来算出。
那么，对于一个$n (n\geq 2)$,假如我们已经知道$result[n-1]$,如何算出$[10^{n-1}, 10^n)$每一位数字都不相同的整数个数。如下图，对于$[10^{n-1}, 10^n)$区间里面的数，假如我们把这个数分成2个部分，第一部分是最高位，第二部分是剩下的位。

那么我们现在要做的就是往这n个格子里面分别放入不同的数字，其中第n位不为0。可以分成两种情况。

1. n-1位里面没有0。那么n-1位这部分共有$A{_9^{n-1}}$种可能情况，第n位就有$9-(n-1)$种可能。组合起来总共$A{_9^{n-1}}*（9-(n-1)）$种可能。
2. n-1位里面有0。那么n-1位这部分共有$A{_9^{n-2}}*(n-1)$种可能情况，第n位就有$10-(n-1)$种可能。组合起来总共$A{_9^{n-2}}*(n-1)*(10-(n-1))$种可能。
   所以，对于$[10^{n-1}, 10^n)$这个区间，每一位数字都不相同的数字个数有 $$A{_9^{n-1}}*（9-(n-1)）+A{_9^{n-2}}*(n-1)*(10-(n-1)) 个$$

那么result的状态转移方程就是

$$result[n] = 10， n == 1$$

$$result[n] = result[n - 1] + A{_9^{n-1}}*（9-(n-1)）+A{_9^{n-2}}*(n-1)*(10-(n-1)), n\geq2$$

代码：

class Solution {
public:
    int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
        if (n == 0) return 1;
        else if (n == 1) return 10;
        int result = 10;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            result += (i - 1) * A(9, i - 2) * (11 - i) + A(9, i - 1) * (10 - i);
        }
        return result;
    }

    int A(int a, int b) {
        if (b == 0) return 1;
        int r = 1;
        for (int i = 0; i < b; i++) {
            r *= (a - i);
        }
        return r;
    }

};