AOE网络的算法，活动的最早开始时间，最晚结束时间，关键活动，关键路径

原文链接：http://www.psme.foothill.edu/wp-content/uploads/2014/04/AOE-Network.pdf

上面就是AOE网，边：Activity，顶点：Event

简而言之，就是earliest time和latest time的定义，两者都是基于Activity的，就是字面意思，但是都是（最早／最晚）开始时间

还定义了

<span style="font-size:18px;">关键Activity</span>

，即earliest time == latest time的Activity

对于Activity a_i，它对应的边是<k, l>，对于Event，我们再定义ee[k]是Event e_k的最早时间，le[l]是Event e_l的最晚时间,

则可以这样计算e(i)和l(i)，通过下面的公式：

e(i) = ee[k] 且 l(i)=le[l] - DURATION(a_i)

也就是：

活动i的最早时间 ＝ 头节点的最早时间；

活动i的最晚时间 ＝ 尾节点的最晚时间 － 活动i的持续时间；

也就是将e(i)和l(i)转换到计算Event的ee值和le值上面去，这两个值就是最早时间和最晚时间，它们可以用“向前计算”＋“向后计算”的两个步骤得到：

“向前计算”阶段：首先我们能得到ee[0]，从而计算后面节点的开始时间，使用下面的公式：

ee[j] = max { ee[i] + DURATION(a<i,j>) }, 其中j节点是i节点的后继节点

后继节点就是有边从i节点指向的节点，而且上面的公式对所有后继节点都适用。

如果按照拓扑顺序，对于j节点的所有前驱节点，我们都要计算出来它们的最早时间，才能计算出来ee[j]

而计算方式，就是从项目的开始节点start，逐步向后，使用上面的公式计算，注意公式当中的max规约

不上代码了，代码对原始算法思想做了内存空间优化，也不上伪代码，受限制于Stack结构和节点的数据结构定义，我们用最简单的方法：

1.将start节点加入集合S,ee(start)=xxx;

2.对于集合外的节点，如果它的前驱节点全部在集合内，那么根据max规约，求出它的ee值，并放入集合S；

3.重复上述步骤，直到所有节点都在集合S内；

ee(finish)就是我们要求的critical path的长度；

如果还是不懂，看下面的英文分析，尤其是后面那张表：

“向前计算”结束了，开始“向后计算”：

首先，“向后计算”的前提条件，不再是“所有前驱节点的ee值都已经算出”，而是“所有后继节点的le值都已经计算出”；

算法：

1.将finish节点加入集合S，le(finish) = ee(finish)；

2.对于集合外的节点，如果它的后继节点全部在集合内，那么根据min规约，求出它的le值，并放入集合S；

3.重复上述步骤，直到所有节点都在集合S内；

我们给出了表格：

再根据规则：

活动i的最早时间 ＝ 头节点的最早时间；

活动i的最晚时间 ＝ 尾节点的最晚时间 － 活动i的持续时间；

可以得到各个Activity的 最早/最晚时间,以及关键活动：