第3章栈和队列

第3章栈和队列

3.1栈的定义和特点

1.章节定位与学习框架

（1）数据结构板块划分

数据结构模块分为上下两篇，整体学习顺序如下：

• 上篇（线性结构）：第 2 章 线性表 → 第 3 章 栈和队列（本章）
• 下篇（非线性结构）：第 5 章 树和二叉树 → 第 6 章 图
• 核心逻辑：从 “简单线性结构” 到 “常用线性结构”，再到 “复杂非线性结构”，循序渐进。

（2）本章核心内容

第 3 章包含两大核心线性结构：栈和队列，二者被放在同一章学习的原因：

1. 均为 “最常用的线性结构”，实际编程（如 C/C++）中应用广泛；
2. 学习方法高度相似（均遵循 “定义 - 描述 - 操作 - 存储” 四要点）；
3. 逻辑特点互补（栈：先进后出；队列：先进先出），对比学习易理解。

2.数据结构通用学习方法（关键！）

1.四要点学习框架

无论是线性表、栈、队列，还是后续的树、图，均围绕以下 4 个核心要点展开，是贯穿整个数据结构学习的 “通用逻辑”：

序号	学习要点	核心内容说明
1	定义（含特点）	明确结构的本质的限定条件、核心特性
2	描述	用语言 / 图示清晰表达结构的逻辑形态
3	操作	结构支持的核心功能（如插入、删除）
4	存储	结构在内存中的实现方式（如顺序存储、链式存储）

2.本章适用说明

栈和队列的学习完全遵循上述框架，本章先学 “栈” 的前 2 个要点（定义、描述），后续课时会展开 “操作” 和 “存储”；队列的学习逻辑与栈一致，后续同步推进。

3.第一部分：栈的基础认知

（1）栈的定义（本质 + 限定条件）

（a） 核心定义

栈是限定只在线性表的一端进行插入和删除操作的线性表。

• 关键 1：栈属于 “线性表”，具备线性表 “元素有序、一对一逻辑关系” 的本质；
• 关键 2：与普通线性表的核心区别 ——操作位置限定：仅允许在 “一端” 进行插入和删除，普通线性表可在任意位置操作。

（b） 易错辨析

• 正确表述：栈是一种线性表（满足线性表本质）；
• 错误表述：线性表就是栈（普通线性表无操作位置限定，范围更广）。

（2）栈的核心术语（必记）

术语	英文	功能 / 特点
栈顶	Top	允许进行插入、删除操作的一端
栈底	Bottom	不允许任何插入、删除操作的一端
入栈（压栈）	Push	在栈顶插入元素的操作
出栈（弹栈）	Pop	在栈顶删除元素的操作

（3）栈的核心特点：后进先出（LIFO）

（a）特点本质

由 “仅栈顶操作” 的限定条件决定：后进入栈的元素会 “压在栈顶”，先进入的元素会 “被压在栈底”，删除时只能先删栈顶元素，导致 “后入的先出，先入的后出”。

（b）实例理解（视频图示逻辑）

假设元素按 “A₀ → A₁ → A₂ → ... → Aₙ₋₁” 的顺序入栈（依次从栈顶压入）：

• 入栈顺序：A₀（最先入，在栈底）→ A₁ → ... → Aₙ₋₁（最后入，在栈顶）；
• 出栈顺序：Aₙ₋₁（最先出，栈顶元素）→ Aₙ₋₂ → ... → A₀（最后出，栈底元素）；
• 结论：入栈与出栈顺序完全相反，即 “后进先出（LIFO，Last In First Out）”，也可表述为 “先进后出”。

（4）栈的优缺点与实际应用

（a）核心优缺点

优点	缺点
程序可读性极强（逻辑清晰，符合人类理解习惯）	效率较低（频繁进行入栈、出栈操作，内存开销较大）

（b）实际应用场景

视频明确提到：在 C/C++ 前导课程中 “大量使用”，核心作用是简化程序逻辑，让代码更易理解（如函数调用栈、表达式求值等场景）。

4.本章后续学习预告

1. 栈的深入学习：栈的核心操作（入栈、出栈、判空、取栈顶元素等）、栈的存储实现（顺序存储、链式存储）；
2. 队列的学习：按 “定义 - 描述 - 操作 - 存储” 四要点，对比栈的 “后进先出” 学习队列的 “先进先出”；
3. 习题巩固：针对栈和队列的核心知识点，通过习题强化理解（对应本章课时 14）。

3.2栈的表示和操作的实现

1.栈的存储结构

栈的存储理论上包含 4 种（顺序、链式、索引、散列），但本章重点学习顺序存储（顺序栈） 和链式存储（链式栈），其余两种暂不深入。

（1）顺序栈

（a）定义

• 限定在表尾进行插入（进栈）和删除（退栈）的栈，仅表尾可操作，其他端不可用。
• 核心指针：
  • 栈底指针（bottom）：始终指向栈底，位置固定。
  • 栈顶指针（top）：指向栈顶元素的上方存储单元（空单元），随元素进出移动。

（b）核心操作（结合示意图逻辑）

操作	步骤	示例（依次插入 A、B、C、D、E、K，再依次删除）
进栈（插入）	1. 将元素存入当前/* by 01022.hk - online tools website : 01022.hk/zh/txtcount.html */ top指向的存储单元； 2. /* by 01022.hk - online tools website : 01022.hk/zh/txtcount.html */ top向上移动（top++）。	插入 A：A 存入top位置→top上移； 插入 K 后：K 存入对应单元→top移至 K 上方。
退栈（删除）	1. top向下移动（top--）（指向栈顶元素）； 2. 弹出当前top指向的元素。	删 K：top--（指向 K）→弹出 K； 删 A 后：top回到空栈初始位置→无元素可删。

（c）溢出现象（操作禁忌）

• 上溢（overflow）：栈满时继续进站。

  例：栈容量固定，插入 K 后再插 L，无空单元可用→无法进站。

• 下溢（underflow）：空栈时继续退站。

  例：弹出所有元素（A~K）后，再执行退站→无元素可弹。

  ✅ 考试提示：若记不清 “上溢 / 下溢”，可统称 “溢出”；但编程中需明确区分，避免逻辑错误。

（2）链式栈

（a）定义

• 用链表存储栈元素，节点包含数据域（data，存元素） 和指针域（next，存后继节点地址）。
• 核心特点：
  • 通常不带头节点，插入 / 删除仅在表头（栈顶） 进行；
  • 栈顶指针（top）= 链表头指针，始终指向栈顶节点。

（a）关键特性

特性	说明
空栈状态	top指向null（无节点）。
满栈状态	通常不讨论（链表可动态申请空间，仅当内存无法申请时视为 “满”）。
与顺序栈对比	优势不突出： 1. 栈仅在栈顶操作，无需频繁移动元素（链表解决 “移动效率低” 的优势无用）； 2. 指针域额外占用空间。✅ 结论：无特殊说明时，栈优先用顺序存储。

2.栈操作的关键问题（高频考点）

（1）top指针的移动顺序（核心逻辑）

操作	顺序（初始化时top指向顺序表第一个位置）	原因
进栈	先存元素 → 再移top（top++）	确保top始终指向栈顶元素的上方空单元。
退栈	先移top（top--） → 再弹元素	初始top指向空单元，需先下移指向栈顶元素，才能弹出。

（2）栈的生活类比（理解 “后进先出”）

• 示例：军训打枪的子弹装填与发射

  最后压入枪膛的子弹 → 最先发射（后进先出）；

  最先压入枪膛的子弹 → 最后发射（先进后出）。

  ✅ 栈的核心特性：

  后进先出（LIFO），仅栈顶可操作。

3.栈的基本操作（4 个核心操作）

操作名称	定义	关键细节
1. 栈的初始化	将栈置为空栈。	top指向初始位置（顺序表首地址），bottom指向栈底，栈内无元素。
2. 读取栈顶元素	仅获取栈顶元素的值，不修改栈内数据。	不移动top指针，不改变栈结构（内存 “读操作” 特性：仅读取，不改写数据）。
3. 进栈（插入）	将元素插入栈顶。	步骤：存元素→top++（顺序栈）；新节点接在表头→top指向新节点（链式栈）。
4. 退栈（删除）	将栈顶元素弹出并从栈中移除。	步骤：top--→弹元素（顺序栈）；top指向后继节点→释放原栈顶节点（链式栈）。
✅ 后续任务：巩固提升篇需通过编程实现这 4 个操作。

4.栈的典型应用（理论 + 实例）

（1）数值转换（核心方法：除 D 取余，余数倒排）

（a）原理

十进制数N转换为基数为D（如 2→二进制、8→八进制、16→十六进制）的数时，需通过 “除 D 取余” 得到余数，再将余数 “倒排” 得到结果 ——栈的 “后进先出” 特性完美适配 “倒排” 需求。

（b）实例

转换需求	步骤（除 D 取余，余数入栈，最后出栈倒排）	结果
十进制 75→二进制（D=2）	75÷2=37 余 1（入栈）→37÷2=18 余 1（入栈）→18÷2=9 余 0（入栈）→9÷2=4 余 1（入栈）→4÷2=2 余 0（入栈）→2÷2=1 余 0（入栈）→1÷2=0 余 1（入栈）→出栈顺序：1、0、0、1、0、1、1	1001011
十进制 1348→八进制（D=8）	1348÷8=168 余 4（入栈）→168÷8=21 余 0（入栈）→21÷8=2 余 5（入栈）→2÷8=0 余 2（入栈）→出栈顺序：2、5、0、4	2504

（2）表达式求值（中缀表达式用双栈，后缀表达式用单栈）

①核心概念

• 中缀表达式：运算符在操作数中间（如3*(7-2)）→需用双栈（数据栈 + 运算符栈）求值；
• 后缀表达式（逆波兰式）：运算符在操作数后面（如3 7 2 - *）→需用单栈求值（需先将中缀转后缀）。

②中缀表达式求值（重点：双栈配合 + 优先级规则）

（a）运算符优先级规则（必记）

1. 表达式前后补 “#”，标记开始和结束，“#” 优先级最低；
2. 乘除（×、÷）优先级 > 加减（+、-）；
3. 左括号 “(”：优先级> 括号外运算符，< 括号内运算符；
4. 右括号 “)”：优先级 < 括号内运算符，遇 “(” 时，两者同时出栈（数据栈不操作）；
5. 两 “#” 相遇→表达式计算结束，所有栈元素弹出。

（b）实例：计算3*(7-2)（补全为#3*(7-2)#）

扫描字符	数据栈（存操作数）	运算符栈（存运算符）	操作逻辑
#	[]	[#]	运算符栈空，压入 “#”。
3	[3]	[#]	数据直接压入数据栈。
*	[3]	[#, *]	“*” 优先级 > 栈顶 “#”，压入运算符栈。
(	[3]	[#, *, (]	“(” 优先级> 栈顶 “*”，压入运算符栈。
7	[3, 7]	[#, *, (]	数据直接压入数据栈。
-	[3, 7]	[#, *, (, -]	“-” 优先级 > 栈顶 “(”，压入运算符栈。
2	[3, 7, 2]	[#, *, (, -]	数据直接压入数据栈。
)	[3, 5]	[#, *]	1. “)” 优先级 < 栈顶 “-”，弹出 “-”；2. 数据栈弹 2（第二个操作数）、弹 7（第一个操作数），算 7-2=5，压回数据栈；3. 运算符栈顶为 “(”，与 “)” 配对，同时弹出。
#	[15]	[]	1. “#” 优先级 < 栈顶 “”，弹出 “”；2. 数据栈弹 5（第二个操作数）、弹 3（第一个操作数），算 3×5=15，压回数据栈；3. 两 “#” 相遇，计算结束，弹出所有栈元素。
✅ 最终结果：数据栈剩余 15，即3*(7-2)=15。

1.初始化双栈：数据栈为空，运算符栈先压入左侧 “#”；

2.从左到右扫描表达式：
遇到 “3”（数据）：直接压入数据栈；

3.遇到 “*”（运算符）：优先级高于栈顶 “#”，压入运算符栈；

4.遇到 “(”（左括号）：优先级高于栈顶 “*”，压入运算符栈；

5.遇到 “7”（数据）：压入数据栈；

6.遇到 “-”（运算符）：优先级高于栈顶 “(”，压入运算符栈；

7.遇到 “2”（数据）：压入数据栈；

8.遇到 “)”（右括号）：优先级低于栈顶 “-”，需先弹出 “-”；此时从数据栈弹出两个元素（先弹 2，后弹 7），计算 7-2=5，将 5 压回数据栈；接着运算符栈顶为 “(”，与 “)” 配对，两者同时弹出（数据栈不操作）；

9.遇到 “#”（右侧）：优先级低于栈顶 “”，弹出 “”；从数据栈弹出两个元素（先弹 5，后弹 3），计算 3*5=15，将 15 压回数据栈；最后两个 “#” 相遇，表达式计算结束，弹出所有栈元素，数据栈中剩余的 15 就是结果。

5.队列引入

本章为 “栈和队列”，当前已完成栈的核心内容（存储、操作、应用），下一板块将学习第三章第二个重点 ——队列（定义、存储结构、操作及应用）。

6.小结

1. 栈的核心：仅栈顶可操作，后进先出（LIFO）；
2. 存储优先：无特殊说明时，栈用顺序存储（链式栈优势不突出）；
3. 高频考点：top指针移动顺序、溢出现象、中缀表达式双栈求值、数值转换的 “除 D 取余倒排”；
4. 应用关键：栈是解决 “需倒序处理数据” 问题的核心数据结构。

3.3队列的定义和特点

1.队列的定义（★核心概念）

• 官方定义：限制在表的一端进行删除操作、表的另一端进行插入操作的线性表。

• 与栈的定义对比（视频重点强调）：

数据结构	操作限制	核心差异点
栈	仅允许在同一端进行插入和删除	单端 “一站式” 操作（插 + 删）
队列	两端分工：一端只删、一端只插	双端 “分工式” 操作（插删分离）

• 本质：通过 “操作位置限制” 形成有序的线性表，保证数据处理的规律性。

2.队列的核心特点（★高频考点）

• 核心规律：先进先出（FIFO，First In First Out）

• 视频生活化举例：

  • 排队买票：先到者站在队前，先买票离开（符合 “先入先出”）；
  • 上公交：先排队的人先上车，后排队的人依次在后（若用栈的 “后进先出”，会出现 “后到先上车”，与现实逻辑相悖）；
  • 关键提醒：“排队” 本质就是队列的现实体现，视频调侃 “排队不叫排站”，目的是强化 “队列≠栈” 的认知。

3.队列的关键术语（★基础必备）

为明确两端的操作分工，视频定义两个核心术语，需结合操作记忆：

术语	英文	对应操作	现实场景类比
队头	front	仅负责 “出队”（删除）	排队时 “先买票离开的一端”
队尾	rear	仅负责 “入队”（插入）	排队时 “新加入者排队的一端”

• 操作规则强化：入队只能在队尾，出队只能在队头（不可混淆，否则破坏 FIFO 规律），可简单记为 “尾进头出”。

4.队列的 7 个基本操作（★考研基础操作）

视频明确队列需掌握 7 个核心操作，每个操作需明确 “目的 + 注意事项”，避免错误使用：

函数名	操作名称	操作目的	注意事项 / 补充说明
Status InitQueue(SqQueue &Q)	初始化	创建一个空队列，初始化队头、队尾指针等结构	后续所有操作的前提，需确保初始状态合法
int QueueLength(SqQueue Q)	求队列长度	统计队列中当前元素的个数	需遍历或通过指针计算（后续存储实现会讲具体方法）
Status EnQueue(SqQueue &Q, QElemType e)	入队（插入）	在队尾添加新元素	需先判断队列是否 “满”，避免 “满队列入队”（溢出）
Status DeQueue(SqQueue &Q, QElemType &e)	出队（删除）	在队头移除并返回元素	需先判断队列是否 “空”，避免 “空队列出队”（错误）
Status QueueEmpty(SqQueue Q)	判断队列空	检查队列是否无元素（队头 = 队尾等标识）	出队、取队头元素前的必要判断
Status QueueFull(SqQueue Q)	判断队列满	检查队列是否达到存储上限	入队前的必要判断，防止元素溢出
Status GetHead(SqQueue Q, QElemType &e)	取队头元素	读取队头元素的值（不删除元素）	与 “出队” 的核心区别：仅读不删，需先判断队列非空

5.视频重点强调的易错点 & 记忆技巧

1. 易错点：栈与队列的操作端混淆

• 栈：“一端管插又管删”（如杯子，只能从开口端放东西、拿东西）；

• 队列：“一端只插、一端只删”（如水管，一端进水、一端出水，方向固定）。

1. 记忆技巧

• 用 “生活场景锚定”：想到 “排队” 就对应队列，想到 “叠盘子”（后放的先拿）对应栈；

• 术语口诀：“前（队头）出后（队尾）进，先进先出”。

3.4队列的表示和操作的实现

1.队列的存储结构

（1）存储分类（4 种，核心记 2 种）​

• 顺序存储、链式存储、索引存储、散列存储

• 实际应用核心：仅需掌握 “顺序存储” 和 “链式存储”，以顺序存储为主

（2）顺序存储（重点）

• 存储方式：用地址连续的存储单元，按 “队头→队尾” 依次存放

• 关键指针（视频反复强调）：

  • Q.front：指向队头（元素存放位置）

  • Q.rear：指向队尾的下一个位置（非队尾元素本身，易错点）

• 初始状态：队空时 front == rear == 0（指针重合）

• 操作规则（与栈的区别）：

  • 进队：仅动rear，rear++（先存元素，再移指针）

  • 出队：仅动front，front++（先取元素，再移指针）

  • 栈动top（进 + 1 / 出 - 1），队列分动两个指针（进动 rear / 出动 front）

（3）链式存储（了解即可，视频不推荐用）

• 结构：同样用front（队头）、rear（队尾）指针，仅在两端插入 / 删除

• 缺点（视频明确否定）：

  • 需额外空间存节点地址，浪费资源

  • 无法体现链表 “任意位置插入删除” 的优势（队列仅两端操作）

• 结论：实际优先用 “顺序存储”，链式存储无需深入掌握

2.顺序队列的致命问题：假满

（1）假满现象（视频举例说明）

• 场景：当rear指向存储空间末尾（如申请 5 个空间，rear=5），即使front前有空闲（如 front=2，前 2 个位置空），也无法进队

• 本质：“看似满，实则有空闲”，空间浪费

（2）问题原因

• front和rear仅单向移动，无法回头利用已出队元素的空闲空间

• 例：5 个空间存 10、20、30、40、50（rear=5），出队 10、20（front=2），此时想进 60 却因 rear=5 无法进，形成假满

3.循环队列（核心考点）

（1）定义与核心价值（视频强调 “考试默认队列 = 循环队列”）

• 逻辑设计：将顺序队列的存储空间 “逻辑上连成环”，让front和rear可循环移动

• 解决问题：彻底消除 “假满”，节省空间

• 实现关键：取余运算（(指针+1) % max），让指针到末尾后跳回起始位置（如 max=10，rear=9 时，(9+1)%10=0，跳回 0 位置）

（2）核心前提：牺牲 1 个空间（区分空 / 满的关键）

• 问题：循环队列中，“空” 和 “满” 若都用front==rear，计算机无法区分

• 解决方案（严蔚敏教材方案，视频指定考点）：牺牲 1 个存储空间，用 “满时留 1 个空位置” 区分

• 例：申请 10 个空间（max=10），最多存 9 个元素（max-1）

（3）循环队列六大关键操作（视频逐句推导，考试必背）

操作类型	操作逻辑 / 公式	视频实例辅助（max=10）
1. 最大存储数	最多存 max - 1 个元素（因牺牲 1 个空间）	max=10→最多存 9 个，max=15→最多存 14 个
2. 队空判断	front == rear（指针重合，无元素）	front=4、rear=4→队空
3. 队满判断	(rear + 1) % max == front（rear 加 1 后追上 front，留 1 个空）	front=2、rear=1→(1+1)%10=2==front→满
4. 进队操作	1. 先判断是否满； 2. 不满则将元素存入 rear 位置； 3. 更新rear = (rear+1) % max	rear=7→存元素→rear=(7+1)%10=8
5. 出队操作	1. 先判断是否空； 2. 非空则取 front 位置元素； 3. 更新front = (front+1) % max	front=4→取元素→front=(4+1)%10=5
6. 实际元素个数	(rear - front + max) % max（覆盖两种场景，视频推导验证）	场景 1：front=4、rear=7→(7-4+10)%10=3；场景 2：front=6、rear=2→(2-6+10)%10=6

4.视频核心考点 & 易错提醒（老师反复强调）

1. 术语必记：front（队头指针）、rear（队尾下一个位置指针）、取余运算（循环核心），勿混淆
2. 考试默认：无论题目是否说明，“队列” 均指 “循环队列”，直接用六大操作解题
3. 公式易错点：实际元素个数公式必须加max再取余（避免 rear<front 时出现负数，如 front=6、rear=2，(2-6) 为负，加 10 后再取余得 6）
4. 操作顺序：进队先存元素再移 rear，出队先取元素再移 front（顺序反了会出错）

参考资料：教材《数据结构 C 语言 第 3 版》 数据结构考研指导（基础篇） 、数据结构考研指导（基础篇） 视频课程｜赵海英