论文笔记：AlphaEdit: Null-Space Constrained Knowledge Editing for Language Models（AlphaEdit）-优快云博客

论文发表于人工智能顶会ICLR（原文链接）。基于定位和修改的模型编辑方法（针对ROME和MEMIT等）会破坏LLM中最初保存的知识，特别是在顺序编辑场景。为此，本文提出AlphaEdit：

1、在将保留知识应用于参数之前，将扰动投影到保留知识的零空间上。

2、从理论上证明，这种预测确保了在查询保留的知识时，编辑后的LLM的输出保持不变，从而减轻中断问题。

3、对各种LLM（包括LLaMA3、GPT2XL和GPT-J）的广泛实验表明，AlphaEdit只需一行额外的投影代码，即可将大多数定位编辑方法的性能平均提高36.4%。

阅读本文请同时参考原始论文图表。

AlphaEdit

零空间

基于前面ROME/MEMIT的工作，对于LLM中的MLP矩阵$W$，可被表示为关于已有知识$(K_0,V_0)$的优化结果：

$W= \arg \min\limits_{\tilde{W}} \left\| \tilde{W} K_0 - V_0 \right\|^2$

其中矩阵$K_0\in \mathbb{R}^{d_0\times n},V_0\in \mathbb{R}^{d_0\times n}$，$n$表示已有知识数量。对于新增知识$(K_1,V_1)$，MEMIT的做法为优化扰动$\Delta$来更新$W$：

$\Delta = \arg \min\limits_{\tilde{\Delta}} \left( \left\| (W + \tilde{\Delta}) K_1 - V_1 \right\|^2 + \left\| (W + \tilde{\Delta}) K_0 - V_0 \right\|^2 \right)$

上式为二次优化，可通过求导直接获得闭式解。然而，耦合的优化不可避免会是扰动量对原始知识产生影响，从而在终身编辑场景中鲁棒性不强。文中通过将中间token表示映射到二维空间的分布偏移来表明这一观点：如图1be所示，MEMIT在编辑后token表示的分布产生了较大偏移，而AlphaEdit则没有。

因此，AlphaEdit期望找到$K_0$的零空间，把$\Delta$映射到其上，从而权重更新将对这些知识不产生影响。矩阵$B$在矩阵$A$的零空间内，当且仅当$BA=0$。也就是说，期望找到$\Delta$有：

$(W + \Delta) K_0 = W K_0 = V_0$

那么如何将$\Delta$映射到$K_0$的零空间呢？

SVD分解获取零空间映射

考虑对称方阵$K_0K_0^T\in\mathbb{R}^{d_0\times d_0}$，对其进行奇异值分解（SVD），得到：

$\{ U, \Lambda, U^T \} = \text{SVD} \left( K_0 K_0^T \right)$

其中$U$为正交矩阵（$UU^T =I$），$\Lambda$对角矩阵，主对角线为奇异值。将奇异值在主对角线降序排序：

$\Lambda = \begin{bmatrix} \Lambda_1 & 0 \\ 0 & \Lambda_2 \end{bmatrix}$

取其中为零的部分$\Lambda_2$（假设$\Lambda_2$都很小几乎为0，文中取小于0.01的值）在$U$中对应的特征向量矩阵$\hat{U}\in\mathbb{R}^{d_0\times m}$。则$P = \hat{U}\hat{U}^T$为将任意矩阵映射到$K_0K^T_0$零空间的矩阵。这是由于，对于任意矩阵$\Delta$，有：

$\Delta PK_0K^T_0 = \Delta\hat{U}\hat{U}^TK_0K^T_0= \Delta\hat{U}\hat{U}^TU\Lambda U^T$

由于其中$\hat{U}^TU\Lambda=0$，上式为零。$P$为$K_0K_0^T$的零空间映射矩阵，同时也$K_0$的零空间映射矩阵，这是由于：

\begin{align*} &P K_0 K_0^T = 0 \\ \Rightarrow &P K_0 K^T P^T = 0 \\ \Rightarrow &P K_0 (K P)^T = 0 \\ \Rightarrow & P K_0 = 0 \end{align*}

AlphaEdit优化

基于ROME/EMMIT工作，$K_0K_0^T$可通过计算10万条数据获得，即可进一步获得映射矩阵$P$。有了$P$，优化就无需再考虑原有知识$K_0$，则AlphaEdit将优化式改为：

$\Delta = \arg \min\limits_{\tilde{\Delta}} \left( \left\| (W + \tilde{\Delta} P) K_1 - V_1 \right\|^2 + \left\| \tilde{\Delta} P \right\|^2 +\left\| \tilde{\Delta} P K_p\right\|^2\right)$

其中第二项控制$\Delta$的范数，避免数值过大，第三项额外考虑终身编辑场景中已编辑的知识$(K_p,V_p)$。原始MEMIT没有考虑第三项。求导得到方程：

$(\Delta PK_1 - R)K_1^T P + \Delta P + \Delta PK_p K_p^T P = 0$

其中$R=V_1 −WK_1$表示新值$V_1$与原始矩阵在新键下的残差。可得AlphaEdit的矩阵变化量$\Delta_\text{AlphaEdit}$为：

$\Delta_\text{AlphaEdit} =\Delta P = R K_1^T P \left( K_p K_p^T P + K_1 K_1^T P + I \right)^{-1}$

MEMIT的原始闭式解如下所示（额外考虑了已编辑知识），文中表明，仅仅这里改动一行代码，产生较好的编辑性能。

$\Delta_{\text{MEMIT}} = R K_1^T \left( K_p K_p^T P + K_1 K_1^T + K_0 K_0^T \right)^{-1}$