【补题日记】[2022牛客暑期多校2]K-Link with Bracket Sequence I

Pro

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33187/K

Sol

代码参考了std的写法，因为的确是不会写的dp，讲题也是一句话带过了

以$f_{i,j,k}$表示序列b的前i位与序列a的LCS长度为k，且左括号减右括号个数为j的方案数。

状态转移方程可以在下面程序中很容易看出来，不过可能不太好理解

为什么还要有else，直接放到另一种括号里不可以吗？我们通过k的取值范围可以看出来，if判断是否为左右括号，其判断的整个str序列以及之后的空的部分，所以如果此处不为左（右）括号时，可能是已经将“a的序列是b的子序列”条件考虑完毕，即a序列遍历完毕，则之后不为左（右）括号。基于这种情况的状态转移方程，此时LCS的长度不再发生变化仍然为k，因此更新时第三维为k，又可以根据括号的左右可以得到第二维（左括号-右括号）的更新关系（加一或减一）。

除此之外的另一种情况，即a序列未被遍历完毕，此时考虑下一个字符为左括号或右括号，同理根据左右括号关系考虑加一减一，以及LCS长度的变化。

关于下标的问题：下面代码中很多地方采用了下标加1的方式，是因为循环是从0开始的，防止下标越界，而仔细来看可以发现：第一维都是由i更新i+1的值，这符合我们常规的dp；第二维有j更新j-1或者j更新j+1，这是因为左右括号数量之差与第一维的循环并不存在线性关系，因此只能根据此处为左括号还是右括号更新第二维；第三维有k更新k和k更新k+1两种情况，上文已说，两种情况分别对应a序列已经遍历完毕和a序列尚未遍历完毕两种情况。而至于下标加1，是因为简化了处理开头和避免了负数下标的情况。

Code

//By cls1277
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define Fo(i,a,b) for(LL i=(a); i<=(b); i++)
#define Ro(i,b,a) for(LL i=(b); i>=(a); i--)
#define Eo(i,x,_) for(LL i=head[x]; i; i=_[i].next)
#define Ms(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define endl '\n'

const LL maxn = 205;
const LL mod = 1e9+7;
LL f[maxn][maxn][maxn];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    #ifdef DEBUG
    freopen("data.txt","r",stdin);
    #endif
    LL t; cin>>t;
    while(t--) {
        LL n, m; cin>>n>>m;
        // string str; cin>>(str+1);
        char str[maxn]; cin>>(str+1);
        if(m&1) {
            cout<<0<<endl;
            continue;
        }
        Ms(f, 0);
        f[0][0][0] = 1;
        Fo(i,0,m-1) {
            Fo(j,0,i) { //left-right
                Fo(k,0,i) { //lcs
                	if(j) {
                		if(str[k+1]==')') f[i+1][j-1][k+1]=(f[i+1][j-1][k+1]+f[i][j][k])%mod;
                		else f[i+1][j-1][k] = (f[i+1][j-1][k]+f[i][j][k])%mod;
					}
					if(str[k+1]=='(') f[i+1][j+1][k+1] = (f[i+1][j+1][k+1]+f[i][j][k])%mod;
					else f[i+1][j+1][k] = (f[i+1][j+1][k]+f[i][j][k])%mod;
                }
            }
        }
        cout<<f[m][0][n]<<endl;
    }
    return 0;
}