zznuoj2094正约数之和

2094 : 正约数之和

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题目描述

我们把f(i)表示为i的正约数的和，而我们要求的是1<=i<=n之间所有i的f（i）之和！

输入

先输入一个正整数T，表示T个这是数据。T（T<=50）

每行输入一个正整数n。(n<10^6)

输出

输出一个数字，表示所求的数。

样例输入

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3
5
12
2018

样例输出

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21
127
3350309

思路：首先了解一下约数定理，

约数个数定理

编辑

对于一个大于1正整数n可以 分解质因数：

则n的 正约数的个数就是

定理简证

编辑

首先同上，n可以 分解质因数：n=p1^a1×p2^a2×p3^a3*…*pk^ak,

由约数定义可知p1^a1的约数有:p1^0, p1^1, p1^2......p1^a1 ，共（a1+1）个;同理p2^a2的 约数有（a2+1）个......pk^ak的约数有（ak+1）个。

故根据 乘法原理：n的约数的个数就是(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(ak+1)。

。

其中a ₁、a ₂、a ₃…a _k是p ₁、p ₂、p _3，…p _k的指数。

约数和定理：

    对于一个数n,它的约数和 f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)(p2^0+p2^1+p2^2+…p2^a2)…(pk^0+pk^1+pk^2+…pk^ak）

综上可知（其实我也不知道怎么就得出来了，大概记住就行了）：

对于一个数n,1-n的约数个数和为

 ∑floor(n/i),其约数和为n - 1 + ∑floor(n/i)*i

ok,现在来看代码（其实这就很容易写了）:

#include<stdio.h>
#define ll long long
int main()
{
 int t,n;
 ll ans;
 scanf("%d",&t);
 while (t--)
 {
  scanf("%d",&n);
  ans = n;
  for (int i = 2;i <= n;i ++)
   ans += (n / i) * i;
  printf("%lld\n",ans);
 }
 return 0;
}