21、非线性系统的数学模型与分析

非线性系统的数学模型与分析

1. 线性与非线性系统概述

在系统分析中，我们首先要了解系统的状态、输入和输出。其中，$x(t)$ 是系统状态的 $n$ 维列状态向量，$x \in \mathbb{R}^n$；$u(t)$ 是系统激励的 $m$ 维列输入向量，$u \in \mathbb{R}^m$；$y(t)$ 是系统响应的 $r$ 维列输出向量，$y \in \mathbb{R}^r$；$f$ 和 $h$ 是自变量 $x$、$u$ 的线性向量函数，$t$ 是标量变量（时间）。

在线性时不变系统中，特别值得关注的是那些动态行为由常系数微分方程描述的系统。这类系统具有独特性，因为它们有通用的数学理论覆盖。

然而，在讨论物理系统时，往往难以避免系统固有的各种非线性特性。这些非线性特性产生的原因主要有以下几点：
- 能量限制。
- 元件制造不完美。
- 为改善系统动态特性而有意添加的特殊非线性元件。

所有这些非线性特性可分为两类：
|非线性类型|特点|
| ---- | ---- |
|非本质非线性|可忽略|
|本质非线性|直接影响系统动态|

具有至少一个非线性特性的自动控制系统被称为非线性系统，其动态特性由非线性数学模型描述。与线性系统理论不同，目前不存在适用于所有非线性系统的通用理论。取而代之的是应用更复杂的数学工具，如泛函分析、微分几何或非线性微分方程理论。从该理论可知，除了一些特殊情况（如里卡蒂方程、伯努利方程、产生椭圆积分的方程），一般无法找到通用解。因此，在工程实践中常采用一系列近似方法来获取系统动态特性的必要知识，这些近似方法用理想化的特性替代实际元件的非线性特性，