21、离散傅里叶变换（DFT）与快速傅里叶变换（FFT）详解

离散傅里叶变换（DFT）与快速傅里叶变换（FFT）详解

1. 离散傅里叶变换（DFT）的应用与问题求解

在信号处理领域，离散傅里叶变换（DFT）有着广泛的应用。下面我们来看一些具体的应用问题及解答。

1.1 频率样本间距问题

当一个连续时间信号 (x_c(t)) 以 (f_s = 2kHz) 的采样频率进行采样，若对 1000 个样本计算 1000 点的 DFT，那么频率样本 (X(k)) 在模拟频率上的间距 (\Delta f) 为 2kHz。

1.2 加窗序列的 DFT 计算

已知 (x(n)) 的 (N) 点 DFT 为 (X(k))，对于加窗序列 (y(n) = w(n)x(n))，其中 (w(n)) 是布莱克曼窗函数：
[w(n) = 0.42 - 0.5\cos(\frac{2\pi n}{N - 1}) + 0.08\cos(\frac{4\pi n}{N - 1}), 0\leq n\leq N - 1]
其 (N) 点 DFT (Y(k)) 可通过以下公式计算：
[Y(k) = 0.42X(k) - 0.25[X((k - 1))_N + X((k + 1))_N] + 0.04[X((k - 2))_N + X((k + 2))_N]]

2. 快速傅里叶变换（FFT）概述

虽然 DFT 在信号处理中非常重要，但直接计算 DFT 的计算量较大。为了提高计算效率，人们开发了快速傅里叶变换（FFT）算法。FFT 算法的基本策略是“分而治之”，即将一个 (N) 点的 DFT 分解为一系列更小的 DFT。

3. 基 - 2 FF