算法思想：递归

递归算法实例

阶乘、斐波那契数列、组合数、排列数、全排列、整数划分、汉诺塔问题

递归思想：
直接或者间接调用自身的算法成为递归算法；
每个递归函数都必须有非递归定义的初始值，下面为递归定义式，否则递归函数无法计算。

求阶乘：
输入：10
输出：3628800

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int factorial(int n){           //函数实现求阶乘的功能
    if(n==0) return 1;         //非递归定义的边界条件，当n=0时，返回结果为1
    return n*factorial(n-1);     //递归定义式，返回n×factorial;
}

int main(){
    int num;
    cin>>num;
    cout<<"阶乘的结果为"<<factorial(num);
    return 0;
}

//if判断的语句，判断条件可以是n=0或者n<=1;

求斐波那契数列：
输入：7
输出：13

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int Fibonzcci(int n){           //函数实现求斐波那契的功能
    if(n==1||n==2) return 1;         //非递归定义的边界条件，当前两项时，返回结果为1
    return Fibonzcci(n-1)+Fibonzcci(n-2);     //递归定义式，返回Fibonzcci(n-1)+Fibonzcci(n-2);
}

int main(){
    int num;
    cin>>num;
    cout<<"斐波那契的结果为"<<Fibonzcci(num);
    return 0;
}

//if判断的语句，判断条件可以是n<=2;

求组合数：
输入：4 2
输出：6
记住公式：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//分析：从n个人里选k个人的组合数
//从(n-1)个人里选k个人的组合数+从(n-1)个人里选(k-1)个人的组合数。
int fun(int n, int k)    //记住公式：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)
{
    if(k > n)
        return 0;
    else if(k == n||k == 0)
        return 1;
    else
        return fun(n-1,k) + fun(n-1, k-1);
}
int main()
{
    int n, k;
    cout<<"输入组合的两个数：";
    cin>>n>>k;
    cout<<"C"<<n<<" "<<k<<":  "<<fun(n,k);

}

求排列数：
输入：4 2
输出：12
记住公式：A(n,m) = A(n-1,m) + m*A(n-1,m-1)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//分析：从n个人里选k个人的排列数
//从(n-1)个人里选k个人的排列数+从(n-1)个人里选(k-1)个人的排列数*k。
int fun(int n, int k)    //记住公式：A(n,m) = A(n-1,m) + m*A(n-1,m-1)
{
    if(k > n)
        return 0;
    else if(k == 0)
        return 1;
    else
        return fun(n-1,k) + k*fun(n-1, k-1);
}
int main()
{
    int n, k;
    cout<<"输入排列的两个数：";
    cin>>n>>k;
    cout<<"A"<<n<<" "<<k<<":  "<<fun(n,k);

}

求全排列：
输入：1 2 3
输出：
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 2 1
3 1 2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void perm(vector<string>b,int k,int m){
    if(k==m){                            //当k=m时，即k已经走到最后一个，此时可进行输出
        for(int i=0;i<=m-1;i++)
            cout<<b[i];
        cout<<endl;
    }

    else{
        for(int i=k;i<=m-1;i++){      //从当前位置开始，依次交换当前元素与后面的各元素
           swap(b[k],b[i]);
           perm(b,k+1,m);              //递归产生相应的排列
           swap(b[k],b[i]);           //将原先交换的元素换回来，重新进行下一轮交换
        }

    }
}

int main(){
    string num;
    vector<string>a;
    while(cin>>num){                //while循环输入排列数据
        a.push_back(num);
        if(cin.get()=='\n') break;
    }
    perm(a,0,a.size());            //调用perm方法进行求解全排列
    return 0;


}

求整数的最大划分数：
输入：6 6
输出：11

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int huafen(int num,int k){
    if(num<1||k<1)  return 0;            //当两数都小于1时，无法进行划分，返回0
    if(num==1||k==1)  return 1;          //当两数都为1时，划分数只能为1
    if(num<k)  return huafen(num,num);         //当最大加数大于划分数时，只能将最大加数变为划分数
    if(num==k)  return huafen(num,num-1)+1;    //当最大加数等于划分数时，最大加数减一，划分总数加一
    return huafen(num,k-1)+huafen(num-k,k);    //在正常情况下见下图
}

int main(){
    int num,k;
    cin>>num>>k;
    huafen(num,k);
    cout<<num<<"最大划分整数不超过"<<k<<"的化分数为"<<huafen(num,k);


}

//6
//5+1
//4+2 4+1+1                q(6,4)=q(6,3)+q(2,4)
//3+3 3+2+1 3+1+1+1
//2+2+2 2+2+1+1 2+1+1+1+1
//1+1+1+1+1+1

求汉诺塔：
输入：3（盘子的个数）
输出：
a->b
a->c
b->c
a->b
c->a
c->b
a->b

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void move(int n,char a,char b,char c){
    if(n>0){

       move(n-1,a,c,b);        //把a的n-1个盘子移至c借助b
       cout<<a<<"->"<<b<<endl;     //把a的最后1个盘(最大的盘)移动到b
       move(n-1,c,b,a);        //把c上的盘子移至b借助a
     }
}

int main(){

    int n;
    cout<<"请输入要移动的块数：";
    cin>>n;
    move(n,'a','b','c');
    return 0;

}