用Python计算偏微分方程数值解——隐式方法

claria029

已于 2024-07-09 13:56:29 修改

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文章标签： python 开发语言

于 2024-07-08 20:03:32 首次发布

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/claria029/article/details/140277406

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偏微分方程主要有三类：椭圆方程，抛物方程和双曲方程。

本文采用隐式有限差分法求解偏微分方程，通过典型案例（热方程）来演示隐式方法的使用。

相比一般的前向差分方法，隐式方法对于所有选择的步长都无条件稳定。

一维热传导方程的数学模型

$eq?u_t%20%3D%20Du_%7Bxx%7D%20%5C%5C%20u%28x%2C0%29%20%3D%20sin%5E22%5Cpi%20x%20%5C%5C%20u%280%2Ct%29%3D0%20%5C%5C%20u%281%2Ct%29%3D0%20%5C%5C$
用向后差分公式近似Ut，

$eq?u_t%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%28u%28x%2Ct%29-u%28x%2Ct-k%29%29%20+%20%5Cfrac%7Bk%7D%7B2%7Du_%7Btt%7D%28x%2Cc_0%29$

用中心差分公式近似Uxx，

$eq?u_%7Bxx%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%5E2%7D%28u%28x+h%2Ct%29-2u%28x%2Ct%29+u%28x-h%2Ct%29%29$

用差分公式替代在点的热方程，得到

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