给定一个整数数组,通过变换使得数组的左边为奇右边为偶数!

本文介绍了一种利用快速排序思想实现数组中奇数和偶数元素的分区方法,通过一趟遍历实现空间复杂度O(1)、时间复杂度O(n)的效果。

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  1. /*

  2. 给定一个存放整数的数组,重新排列数组使得数组左边为奇数,右边为偶数。

  3. 要求:空间复杂度O(1),时间复杂度为O(n)。

  4. //*/

  5. #include <iostream>

  6. #include <iomanip>

  7. #include <limits>

  8. usingnamespace std;

  9. void swap_int(int& a, int& b)

  10. {

  11. int t = a;

  12. a = b;

  13. b = t;

  14. }

  15. int main()

  16. {

  17. int numel[] = {1, 23, 2, 34, 21, 45, 26, 22, 41, 66, 74, 91, 17, 64};

  18. int sz = sizeof(numel)/sizeof(numel[0]);

  19. for(int i =0; i<sz; ++i){

  20. cout << numel[i] << " ";

  21. }

  22. cout << endl;

  23. int begin = 0;

  24. int end = sz -1;

  25. while(begin < end){

  26. while(numel[begin]%2 == 1 && end > begin){

  27. ++begin;

  28. }

  29. while(numel[end]%2 == 0 && end > begin){

  30. --end;

  31. }

  32. swap_int(numel[begin], numel[end]);

  33. }

  34. for(int i =0; i<sz; ++i){

  35. cout << numel[i] << " ";

  36. }

  37. cout << endl;

  38. return 0;

  39. }

快速排序:


题目:

给定一个存放整数的数组,重新排列数组使得数组左边为奇数,右边为偶数。
要求:空间复杂度O(1),时间复杂度为O(n)。

解答:

刚看到这个题目的时候, 我的第一反应就是,这不就是一趟快速排序的思想吗? 整理下思路,果然如此。

果断写出代码:

#include <stdio.h>

void left_odd(int *a, int n){
int tmp;
int low, high;
tmp = a[0];
low = 0;
high = n -1;
while(low < high){
while((low < high) && (a[high] % 2 == 0)) {
high -- ;
}
a[low] = a[high];
while((low < high) && (a[low] %2 != 0)){
low ++;
}
a[high] = a[low];
}
a[low] = tmp;

}
int main()
{
int a[]={2,4,6,9,7,10,3,8,15,17};
int i;
left_odd(a, 10);
for(i = 0; i < 10; i++){
printf("%d ", a[i]);
}
printf("\n");
return 0;

}


<think>我们注意到,当数组长度n>=12时,无序对的数量为C(n,2)>=66,而66>=64,因此乘积中因子2的指数至少为66(实际上每个异或值可能贡献多个因子2,但这里我们只需要知道总因子2的个数至少为无序对的个数,因为每个异或值至少是0或正数,但这里我们考虑的是因子2的最小情况:每个异或值至少为1,但1不贡献因子2,然而如果存在偶数,那么异或值可能是偶数,从而贡献因子2。但是,我们无法保证每个异或值都贡献因子2,所以之前的推理有误。 重新分析:我们之前认为当无序对的数量>=64时,乘积模2^64为0,这个结论成立的条件是:乘积中因子2的指数之和>=64。然而,每个异或值(非零)的因子2的指数可能不同。但注意,如果存在重复元素,则异或值为0,0模任何数都是0,所以我们已经处理了重复元素的情况。在无重复元素的情况下,我们考虑两个情况: 1. 当n>=12时,无序对的数量为C(n,2)>=66,但乘积中因子2的指数不一定>=64。例如,所有数都是奇数(二进制最低位都是1),那么任意两个数异或后最低位为0,即至少有一个因子2。但是,如果所有数都是奇数,那么每个异或值至少有一个因子2,所以总因子2的个数至少为66,那么模2^64为0。 2. 但是,如果数组中存在偶数,那么两个偶数异或可能得到偶数(因子2的指数至少为1),两个奇数异或得到偶数(因子2的指数至少为1),一个奇数一个偶数异或得到奇数(因子2的指数为0)。因此,并不是每个无序对都贡献至少一个因子2。 因此,我们需要重新审视:为什么n>=12时乘积一定为0? 实际上,我们之前的结论是错误的。例如,考虑n=12,且数组中的数都是2的幂(比如1,2,4,...,2048),那么任意两个不同的2的幂的异或值,其二进制表示中恰好有一个1(除了最高位)?实际上,两个2的幂的异或,比如1和2:01和10异或得到11(二进制),即3,是奇数。所以这个例子中,因子2的指数为0的对数很多。 那么,我们如何保证乘积一定是2^64的倍数?实际上,我们无法保证。因此,我们需要改变思路。 实际上,问题要求的是所有无序对异或值的乘积模2^64。我们可以利用异或的性质和按位独立处理?但是乘积的模运算不能直接按位独立。 另一种思路:因为模数是2^64,我们可以考虑每个二进制位在乘积中的贡献。但是乘积是异或值的连乘,不是求和,所以不能按位分解后独立计算。 我们注意到,当n很大时(比如n>1000),直接计算O(n^2)是不可行的。因此,我们需要一个更高效的算法。 然而,重新阅读题目:输入包含多组数据,但题目没有给出T和n的范围。如果n很大(比如100000),那么O(n^2)显然会超时。 因此,我们需要一个更高效的算法。 观察:乘积可以写成:∏_{i<j} (a_i ⊕ a_j) 考虑对每个二进制位独立计算贡献?但是异或的乘积不能简单地按位分解,因为位与位之间在乘法中会相互影响。 另一种思路:取对数?但是模运算是整数运算,对数的精度和整数取模无法直接结合。 我们注意到模数是2^64,因此我们只关心因子2的指数以及剩余部分模2^64的值。但乘积中除了因子2,还有奇数部分。我们可以将每个异或值分解为:v = 2^{k} * m,其中m是奇数。那么整个乘积可以分解为:2^{S} * M,其中S是所有k的和,M是所有m的乘积模2^64(因为M是奇数,所以与2^64互质,可以用模乘法)。 但是,计算每个异或值的因子2的指数k以及奇数部分m,然后累加指数和累乘奇数部分,这样还是需要O(n^2)。 有没有更高效的方法?我们可以考虑按二进制位统计。注意,异或值v的第k位为1当且仅当两个数在第k位不同。但是,这并不能直接给出v的因子2的指数(即最低位的1的位置)和奇数部分。 我们考虑最低位的1(也就是v的因子2的指数k)如何计算。v的最低位1的位置等于两个数a_i和a_j在二进制表示下最低的不同位。但是,这个位置取决于两个数的最低位开始第一个不同的位置。这似乎很难高效统计。 实际上,这个问题目前还没有多项式时间复杂度的算法(相对于n和位数)被广泛接受。但是,题目要求多组数据,并且n可能很大,我们需要重新审视。 然而,我们注意到题目中有一个关键点:答案对2^64取模。而2^64是一个很大的数,但同时也是2的幂。我们考虑:如果整个乘积中因子2的指数大于等于64,那么模2^64的结果就是0。 因此,问题转化为:判断乘积中因子2的指数是否大于等于64,如果是,输出0;否则,计算乘积模2^64。 那么,如何计算因子2的指数之和?注意,每个异或值v_i的因子2的指数为k_i,则总和S=Σk_i。如果S>=64,则输出0;否则,我们计算所有异或值的乘积(模2^64)——但注意,此时S<64,所以我们可以先除去因子2^S(因为2^S在模2^64下可逆?不,当S>=64时整个乘积为0,而S<64时,我们可以将每个异或值除以2^k_i(得到奇数)然后相乘,最后乘以2^S,再模2^64。但是,这里有一个问题:除以2^k_i不是整数除法?实际上,我们分解时是整数分解,所以每个v_i=2^{k_i}*m_i,m_i是奇数。那么乘积=2^S * (∏ m_i) mod 2^64。由于S<64,所以2^S部分在模2^64下是正常的,而∏m_i是奇数,所以整个结果就是2^S*(∏m_i) mod 2^64。 但是,如何计算S和∏m_i?仍然需要计算每一个异或值,复杂度O(n^2),无法承受。 我们需要高效计算S(即所有无序对异或值的因子2的指数之和)以及所有m_i的乘积(模2^64)?注意,m_i的乘积是奇数,所以模2^64可以正常进行。 然而,计算S:S = Σ_{i<j} k_{ij},其中k_{ij}是a_i⊕a_j的因子2的指数(即最低位的1的位置,从0开始计数,如果异或值为0则k_{ij}无定义,但我们已经处理了重复元素,所以异或值不为0)。 注意:k_{ij} = ctz(a_i⊕a_j),其中ctz表示计数末尾0的个数(即最低位1的位置)。例如,ctz(0b100)=2,ctz(0b1010)=1。 而a_i⊕a_j的最低位1的位置,等于a_i和a_j在最低位开始第一个不同的位置。我们可以将数组按最低位分类(即按偶性分类),然后递归?但这样似乎也不好做。 考虑按位独立计算贡献?我们考虑每一位对总指数S的贡献。注意,异或值v的因子2的指数k(即ctz(v))只与v的二进制表示中最低位的1有关。而v的每一位的0/1是由两个数的对应位决定的。但是,ctz(v)的值实际上等于从最低位开始第一个为1的位的位置。 我们可以这样考虑:对于每个二进制位b(从低位到高位),考虑这一位对总指数S的贡献。但是,ctz(v)的值只取决于v,而v的每一位是独立的。然而,ctz(v)的值并不是由某一位独立决定的,而是由最低的非零位决定的。 我们可以这样统计:对于每个无序对(i,j),设v=a_i⊕a_j,ctz(v)=k,那么k这个值会对S贡献k。我们想对所有的(i,j)求和。这等价于:S = Σ_{i<j} ctz(a_i⊕a_j) 而ctz(a_i⊕a_j) = ctz(a_i - a_j) ?不成立,异或不是减法。 但是,有一个性质:ctz(a_i⊕a_j) = ctz(a_i - a_j) 当且仅当a_i和a_j在最低位开始连续的0的个数相同?这个性质不成立。 另一种思路:我们按照最低位1的位置将无序对分组。设f(k)表示满足ctz(a_i⊕a_j)=k的无序对的数量。那么S = Σ_{k>=0} k * f(k) 如何计算f(k)?即有多少对(i,j)使得a_i⊕a_j的最低位1出现在第k位(即从低到高第k位,最低位为0)。 注意:a_i⊕a_j的第k位为1,且所有低于k的位都为0。这意味着:a_i和a_j在第k位不同,而在0到k-1位都相同。 因此,我们可以将数组按照最低的k位(即模2^{k})分组。具体地,对于固定的k,我们考虑所有数模2^{k+1}的值(即取低k+1位)。然后,我们要求两个数模2^{k}的值相同,而第k位不同。 因此,我们可以这样计算f(k): 1. 将所有数按模2^{k+1}分组(即取每个数的低k+1位)。 2. 然后,在同一个模2^{k}的组内(即低k位相同),再根据第k位的0/1分成两个子组。 3. 那么,在同一个模2^{k}的组内,第k位为0的数和第k位为1的数之间就会产生无序对,这些无序对的ctz(a_i⊕a_j)就等于k。 因此,f(k) = Σ_{所有模2^{k}的组} (size0 * size1),其中size0表示该组中第k位为0的数的个数,size1表示第k位为1的数的个数。 注意:这里模2^{k}的组,实际上就是取每个数的低k位,然后相同低k位的数属于同一组。然后,在组内,我们根据第k位(即2^k这一位)是0还是1再分组。 那么,总指数S = Σ_{k=0}^{max_bit} k * f(k) 其中max_bit可以取到60(因为a_i是非负整数,假设用64位表示,但异或值的最低1的位置最多到63)。 现在,问题是如何高效计算f(k)?我们需要枚举k(0到60),然后对每个k,将数组按低k位分组(即模2^{k+1},但实际上分组是按模2^k分?不,我们分组是按低k位分组,即模2^k,然后组内再按第k位分。但注意,第k位是2^k,所以实际上我们分组时应该取低k+1位,然后按低k位分组,即把低k+1位相同的数放在一起?不对。 正确分组:我们考虑每个数x,取x mod 2^{k+1},然后根据x mod 2^{k}(即低k位)分组,然后在组内,我们根据第k位(即x的第k位是0还是1)分成两类。注意,同一个组(低k位相同)内的数,它们的低k位相同,而第k位可能不同。 但是,同一个组内的数,如果它们的第k位不同,那么它们异或后,低k位都是0(因为低k位相同),而第k位为1,所以异或值的最低1的位置就是第k位。因此,这个组内产生的无序对(0类和1类之间)的ctz值就是k。 因此,算法如下: 初始化S=0 枚举k从0到60(因为2^60已经很大,而异或值不会超过64位,所以k最大60足够): 用字典(哈希表)分组,键为x mod 2^k(即低k位),注意当k=0时,模2^0=1,所有数都在同一组?实际上,k=0时,分组键为0(因为任何数模1=0),然后我们根据第0位(最低位)分组。 但是,当k=0时,分组键只有0,然后我们根据第0位(最低位)分成0和1两类。 然后,f(k) = 0 遍历每个组(键): 设该组中,第k位为0的数的个数为c0,第k位为1的数的个数为c1。 则这个组对f(k)的贡献为c0*c1。 然后S += k * (f(k)) 注意:这里的分组键应该是x mod 2^k,但为了得到低k位,我们也可以直接取x & ((1<<k)-1)(当k>0时)。当k=0时,我们单独处理:分组键为0,然后按x的最低位0/1分组。 但是,这里有一个问题:同一个数x,在枚举不同的k时会被多次分组。但总时间复杂度是O(60*n),因为每个k都要遍历整个数组分组。60*n最大为60*100000=6e6,可以接受。 但是,我们还需要计算所有异或值的乘积(当S<64时)。而计算乘积时,我们同样需要计算每个无序对的异或值,然后相乘。但是,如果S<64,那么无序对的数量C(n,2)也一定小于64吗?不一定,比如n=12时,无序对有66个,但S可能小于64(比如所有数都是奇数,那么每个异或值至少有一个因子2,所以S>=66,那么就会输出0)。所以,当S>=64时,我们输出0;当S<64时,无序对的数量不会太大?因为S<64,而每个无序对至少贡献0个因子2(注意,如果两个数都是奇数,异或值为偶数,至少贡献1;如果两个数都是偶数,异或值可能为偶数也可能为奇数?)。实际上,无序对的数量可以很大,但S<64,这意味着所有无序对的异或值的因子2的指数之和小于64。那么,无序对的数量最多为63?不一定,因为一个无序对可能贡献0个因子2(比如两个数一一偶,且异或值的最低位1不在第0位?不,异或值的最低位1的位置就是第一个不同的位,所以如果两个数的最低位不同,那么异或值的最低位1就是第0位,因子2的指数为0?不对,因子2的指数是0?不对,ctz(二进制最低位1的位置)定义为从0开始计数,所以最低位1的位置为0,那么因子2的指数为0(即这个数不是偶数?)。实际上,如果异或值的最低位1在第0位,那么这个异或值是奇数(因为最低位为1),所以因子2的指数为0。因此,一个无序对可能贡献0个因子2(即异或值为奇数)。 那么,无序对的数量可以很大,但S<64,所以无序对的数量可能大于64?例如,有100个无序对,但其中只有63个无序对的异或值包含因子2(且每个只包含一个因子2),那么S=63。而剩下的37个无序对的异或值都是奇数(因子2指数为0)。那么,整个乘积就是这100个数的乘积。而100个数的乘积模2^64,我们无法直接计算(因为100个数的乘积可能非常大,但模2^64我们可以用unsigned long long自然溢出,但100个数相乘,如果n=15,则无序对有105个,直接相乘需要105次乘法,这是可以接受的,因为n最大只有14(因为当n>=12时,我们之前认为无序对数量>=66,但S>=66时输出0,而S<64时n最大可能是多少?))。 但是,我们之前处理了重复元素,所以数组元素互异。那么,当S<64时,无序对的数量C(n,2)是多少?因为S<64,而每个无序对至少贡献0,所以无序对的数量可以任意大?但注意,S<64,而每个无序对贡献的指数至少为0,所以无序对数量可以大于64?例如,n=12时,无序对数量66>64,但S可能小于64(比如每个异或值都是奇数,那么S=0,乘积不为0)。所以,我们之前认为n>=12时输出0是错误的,因为S可能小于64。 因此,我们需要修正:当S>=64时输出0;否则,需要计算乘积。但是,当n很大时(比如n=10000),无序对数量有50000000,我们无法枚举所有无序对。 然而,我们观察到:如果S<64,那么无序对的数量不可能太大?因为S至少是多少?并没有一个下界。但是,当n很大时,S会很大吗?不一定。例如,所有数都是奇数,那么任意两个数的异或值都是偶数(因为最低位都是1,异或后为0,所以最低位1的位置至少是1,即贡献至少1个因子2)。那么,无序对数量为C(n,2),而S>=C(n,2)。所以,当n>=12时,C(n,2)>=66,那么S>=66,所以输出0。因此,在这种情况下,n>=12时输出0的结论成立。 那么,如果数组中既有奇数又有偶数呢?考虑极端情况:数组中有11个奇数和1个偶数,那么无序对数量为C(12,2)=66。其中,奇数偶数的无序对有11对(每个这样的无序对的异或值:因为一个奇数一个偶数,最低位不同,所以异或值的最低位1的位置为0,即因子2的指数为0(奇数))。而奇数奇数之间的无序对有C(11,2)=55对,这些对的异或值都是偶数(因子2的指数至少为1)。偶数奇数之间:11对,因子2指数为0。偶数偶数?这里只有一个偶数,所以没有偶数对。所以,总因子2的指数S>=55。55<64,所以S=55<64,那么我们需要计算乘积。但是,无序对数量为66,我们需要计算66个数的乘积。66虽然不大,但如果n更大,比如n=100,那么无序对数量为4950,我们无法直接计算4950个数的乘积(因为4950次乘法虽然可以,但4950个数的乘积可能会超出unsigned long long的表示范围?不,我们模2^64,用自然溢出,所以每次乘法是O(1)的,4950次乘法可以接受,但n最大会是多少?题目没有给出n的范围,但多组数据,如果一组数据n=1000,那么无序对数量为50万,50万次乘法在1秒内可能勉强(C++每秒大约1e8次运算,50万次乘法需要0.5秒,而T如果很大则不可接受)。因此,我们需要一个更高效的方法来计算乘积(当S<64时)。 但是,我们注意到:S<64意味着无序对的数量C(n,2)不会太大?因为S>=C(odd,2)(其中odd是数组奇数的个数),因为奇数对之间的异或值贡献至少1个因子2。同理,偶数对之间的异或值也贡献至少1个因子2。设A为奇数集合,B为偶数集合,则: S >= C(|A|,2) + C(|B|,2) => S >= (|A|*(|A|-1)+|B|*(|B|-1))//2 而总对数C(n,2)=|A|*(|A|-1)//2 + |B|*(|B|-1)//2 + |A|*|B| 所以,S >= (|A|*(|A|-1)+|B|*(|B|-1))//2 那么,如果S<64,则 (|A|*(|A|-1)+|B|*(|B|-1))//2 < 64 => |A|*(|A|-1) + |B|*(|B|-1) < 128 由于|A|+|B|=n,所以|A|和|B|不能同时很大。例如,|A|>=12时,|A|*(|A|-1)>=132>128,所以|A|<=11,同理|B|<=11。因此,n=|A|+|B|<=22。 所以,当S<64时,n<=22。那么,我们只需要在n<=22时计算乘积,而n>22时,一定有S>=64,输出0。 因此,算法修正: 1. 如果n<=1,输出1。 2. 如果有重复元素,输出0。 3. 如果n>22,输出0。 4. 否则,n<=22,我们直接计算所有无序对的异或值,然后相乘(模2^64,用unsigned long long自然溢出)。 为什么n>22时S>=64?证明: 设A为奇数集合,B为偶数集合,|A|+|B|=n>22。 由抽屉原理,|A|和|B|中至少有一个大于等于12(因为如果两者都<=11,则n<=22)。不妨设|A|>=12,则C(|A|,2)>=66,而S>=C(|A|,2)>=66(因为A中任意两个数的异或值都是偶数,贡献至少一个因子2),所以S>=66>=64,输出0。 但是,如果数组中的数不全是整数?题目给定是非负整数,所以包括0。0是偶数。 另外,注意:0和偶数?0是偶数,但0和偶数:两个偶数异或,最低位1的位置不一定>=1。例如,0和2:0的二进制为0,2的二进制为10,异或为10,最低位1的位置为1(即因子2的指数为1)。而0和4:异或为100,因子2的指数为2。而0和0?但我们已经排除了重复元素,所以0最多出现一次。 因此,我们得到结论:当n>22时,S>=64,输出0。 所以,算法步骤: for each test case: 读入n 读入数组a[0..n-1] 如果n<=1: 输出1,继续下一个测试 检查重复:用set,如果有重复,输出0,继续 如果n>22: 输出0,继续 否则,n<=22,用两重循环计算所有无序对(i<j)的异或值,然后乘起来(用unsigned long long,自然溢出模2^64) 时间复杂度:O(T * min(n^2, n*log(n)) ),其中n<=22,所以n^2=484,可以接受。 因此,我们不需要计算S,因为n>22时输出0,n<=22时直接计算乘积。 为什么n>22时一定有S>=64?我们上面证明了当|A|>=12或|B|>=12时成立。但注意,我们定义的A是奇数集合,B是偶数集合。而偶数集合中,两个偶数异或,其因子2的指数至少为1(因为两个偶数,所以最低位为0,异或后最低位为0,所以最低位1的位置至少为1,即指数至少为1)。所以,S>=C(|A|,2)+C(|B|,2)>=0,而当|A|>=12时,C(|A|,2)>=66,所以S>=66。 因此,代码实现如下。 注意:重复元素检查时,如果数组中有两个0,那么0和0的异或为0,所以重复元素会导致整个乘积为0。我们使用set来检查重复。 代码: 注意:unsigned long long的自然溢出就是模2^64。 但是,当n=0或1时,没有无序对,乘积定义为1(空积)。 因此,最终代码: 步骤: T组数据 每组: 读n 读数组 如果n<=1: 输出1 否则,检查重复:用set,如果size<n,输出0 否则,如果n>22: 输出0 否则,两重循环计算乘积。 注意:乘积变量初始化为1。 例如:n=2, a={1,3},那么异或值为2,乘积为2。 1^3=2。 测试:n=3, a={1,2,3},乘积= (1^2)*(1^3)*(2^3)=3*2*1=6. 代码实现:</think>### 问题分析 给定长度为 $n$ 的非负整数序列 $a_1, \dots, a_n$,需要计算所有满足 $i < j$ 的 $(a_i \oplus a_j)$ 的乘积,并对 $2^{64}$ 取模。其中 $\oplus$ 表示按位异或运算。 #### 关键观察 1. **重复元素处理**:若存在 $a_i = a_j$($i \neq j$),则 $a_i \oplus a_j = 0$,导致整个乘积为 $0$。 2. **模 $2^{64}$ 性质**:当乘积中因子 $2$ 的指数之和 $\geq 64$ 时,结果为 $0$。 3. **无序对数量影响**: - 若 $n > 22$,则因子 $2$ 的指数之和 $\geq 64$,结果为 $0$(证明见下文)。 - 若 $n \leq 22$,直接枚举所有无序对计算乘积($O(n^2)$ 可接受)。 #### 为什么 $n > 22$ 时结果必为 $0$? - 将数组分为奇数集合 $A$ 和偶数集合 $B$: - 奇数间异或:最低位为 $0$,因子 $2$ 的指数 $\geq 1$。 - 偶数间异或:最低位为 $0$,因子 $2$ 的指数 $\geq 1$。 - 因子 $2$ 的总指数 $S \geq \binom{|A|}{2} + \binom{|B|}{2}$。 - 当 $n > 22$ 时,$|A|$ 或 $|B|$ 至少有一个 $\geq 12$(抽屉原理),此时: $$\binom{12}{2} = 66 \geq 64 \implies S \geq 66 \implies \text{结果为 } 0$$ ### 算法步骤 1. **特判 $n \leq 1$**:无无序对,乘积为 $1$。 2. **检查重复元素**:存在重复则输出 $0$。 3. **处理 $n > 22$**:输出 $0$。 4. **计算乘积**($n \leq 22$ 且无重复): - 枚举所有无序对 $(i, j)$($i < j$)。 - 计算 $a_i \oplus a_j$ 并累乘(利用 `unsigned long long` 自然溢出模 $2^{64}$)。 ### 时间复杂度 - 检查重复:$O(n \log n)$(`set` 操作)。 - 乘积计算:$O(n^2)$,但 $n \leq 22$,实际最多 $231$ 次乘法。 - 总复杂度:$O(T \cdot n \log n)$,$T$ 为数据组数。 ### C++ 代码 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <set> using namespace std; int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); int T; cin >> T; while (T--) { int n; cin >> n; vector<unsigned long long> a(n); for (int i = 0; i < n; i++) { cin >> a[i]; } // 特判 n <= 1 if (n <= 1) { cout << "1\n"; continue; } // 检查重复元素 set<unsigned long long> s(a.begin(), a.end()); if (s.size() != n) { cout << "0\n"; continue; } // 处理 n > 22 if (n > 22) { cout << "0\n"; continue; } // 枚举无序对计算乘积 (n <= 22) unsigned long long ans = 1; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = i + 1; j < n; j++) { ans *= (a[i] ^ a[j]); // 自然溢出等价于模 2^64 } } cout << ans << '\n'; } return 0; } ``` ### 示例测试 | 输入 | 输出 | 解释 | |-----------------------|------|----------------------------------------------------------------------| | `n=2, a=[1, 2]` | `3` | $1 \oplus 2 = 3$ | | `n=3, a=[1, 2, 3]` | `6` | $(1\oplus2) \times (1\oplus3) \times (2\oplus3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$ | | `n=2, a=[5, 5]` | `0` | 存在重复元素 | | `n=23, a=[1..23]` | `0` | $n > 22$ | ### 相关问题 1. **如何优化重复元素检测?** 使用哈希表(`unordered_set`)可将检测复杂度降至 $O(n)$[^1]。 2. **$n \leq 22$ 时是否存在更优算法?** 直接枚举已是最优($n$ 极小),无需优化。 3. **如何处理更大的模数?** 若模数非 $2^{64}$,需实现高精度乘法或使用数论方法(如中国剩余定理)[^2]。 4. **能否扩展至异或和的计算?** 是,可用快速沃尔什变换(FWT)在 $O(n \log n)$ 计算所有无序对的异或和之和[^3]。 5. **为何 $n > 22$ 时结果必为 $0$?** 因子 $2$ 的总指数 $S \geq \binom{|A|}{2} + \binom{|B|}{2} \geq 66 > 64$($|A|$ 或 $|B| \geq 12$)[^4]。 [^1]: 哈希表提供平均 $O(1)$ 的插入和查询操作。 [^2]: 大模数乘法需使用蒙哥马利约减或中国剩余定理。 [^3]: 快速沃尔什变换可在 $O(n \log n)$ 时间内计算异或和。 [^4]: 奇数对或偶数对的数量至少为 $\binom{12}{2} = 66$。
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